Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13565 / 3193
↖ ↑ ↗
← N 80.885018°
W 30.970459°		 ← 193.53 m → N 80.885018°
W 30.959473°		 →
↑
193.55 m
↓
↑
193.55 m
↓
N 80.883277°
W 30.970459°		 ← 193.56 m →
37 461 m²		 N 80.883277°
W 30.959473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413986206054688 y=0.0974578857421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413986206054688 × 215)
    floor (0.413986206054688 × 32768)
    floor (13565.5)     		tx = 13565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0974578857421875 × 215)
    floor (0.0974578857421875 × 32768)
    floor (3193.5)     		ty = 3193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13565 / 3193 ti = "15/13565/3193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13565/3193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13565 ÷ 215
    13565 ÷ 32768     		x = 0.413970947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3193 ÷ 215
    3193 ÷ 32768     		y = 0.097442626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413970947265625 × 2 - 1) × π
    -0.17205810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54053648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.097442626953125 × 2 - 1) × π
    0.80511474609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.52934257155264
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54053648} λ = -0.54053648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52934257155264))-π/2
    2×atan(12.5452558169145)-π/2
    2×1.49125310479711-π/2
    2.98250620959422-1.57079632675     		φ = 1.41170988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54053648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.970459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41170988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.885018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13565 KachelY 3193 -0.54053648 1.41170988 -30.970459 80.885018
    Oben rechts KachelX + 1 13566 KachelY 3193 -0.54034473 1.41170988 -30.959473 80.885018
    Unten links KachelX 13565 KachelY + 1 3194 -0.54053648 1.41167950 -30.970459 80.883277
    Unten rechts KachelX + 1 13566 KachelY + 1 3194 -0.54034473 1.41167950 -30.959473 80.883277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41170988-1.41167950) × R
    3.03800000001075e-05 × 6371000     		dl = 193.550980000685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41170988-1.41167950) × R
    3.03800000001075e-05 × 6371000     		dr = 193.550980000685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54053648--0.54034473) × cos(1.41170988) × R
    0.000191749999999935 × 0.158416255608955 × 6371000     		do = 193.527515689866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54053648--0.54034473) × cos(1.41167950) × R
    0.000191749999999935 × 0.158446251909876 × 6371000     		du = 193.564160348426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41170988)-sin(1.41167950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158416255608955-0.158446251909876)×R²
    abs(-0.54034473--0.54053648)×2.99963009209037e-05×R²
    0.000191749999999935×2.99963009209037e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.99963009209037e-05×40589641000000     		ar = 37460.9866264782m²