Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13565 / 12522
↖ ↑ ↗
← S 68.479925°
E118.059082°		 ← 896.26 m → S 68.479925°
E118.081055°		 →
↑
896.14 m
↓
↑
896.14 m
↓
S 68.487985°
E118.059082°		 ← 895.94 m →
803 036 m²		 S 68.487985°
E118.081055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827972412109375 y=0.764312744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827972412109375 × 214)
    floor (0.827972412109375 × 16384)
    floor (13565.5)     		tx = 13565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764312744140625 × 214)
    floor (0.764312744140625 × 16384)
    floor (12522.5)     		ty = 12522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13565 / 12522 ti = "14/13565/12522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13565/12522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13565 ÷ 214
    13565 ÷ 16384     		x = 0.82794189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12522 ÷ 214
    12522 ÷ 16384     		y = 0.7642822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82794189453125 × 2 - 1) × π
    0.6558837890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.06051969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7642822265625 × 2 - 1) × π
    -0.528564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66053420283875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06051969} λ = 2.06051969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66053420283875))-π/2
    2×atan(0.190037434443998)-π/2
    2×0.187798076411293-π/2
    0.375596152822586-1.57079632675     		φ = -1.19520017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06051969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.059082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19520017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.479925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13565 KachelY 12522 2.06051969 -1.19520017 118.059082 -68.479925
    Oben rechts KachelX + 1 13566 KachelY 12522 2.06090319 -1.19520017 118.081055 -68.479925
    Unten links KachelX 13565 KachelY + 1 12523 2.06051969 -1.19534083 118.059082 -68.487985
    Unten rechts KachelX + 1 13566 KachelY + 1 12523 2.06090319 -1.19534083 118.081055 -68.487985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19520017--1.19534083) × R
    0.000140660000000015 × 6371000     		dl = 896.144860000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19520017--1.19534083) × R
    0.000140660000000015 × 6371000     		dr = 896.144860000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06051969-2.06090319) × cos(-1.19520017) × R
    0.00038349999999987 × 0.366827192407533 × 6371000     		do = 896.260992424385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06051969-2.06090319) × cos(-1.19534083) × R
    0.00038349999999987 × 0.366696334314177 × 6371000     		du = 895.941269658337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19520017)-sin(-1.19534083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366827192407533-0.366696334314177)×R²
    abs(2.06090319-2.06051969)×0.00013085809335639×R²
    0.00038349999999987×0.00013085809335639×6371000²
    0.00038349999999987×0.00013085809335639×40589641000000     		ar = 803036.423947631m²