Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13564 / 5319
↖ ↑ ↗
← N 53.238921°
E118.037109°		 ← 1 462.21 m → N 53.238921°
E118.059082°		 →
↑
1 462.46 m
↓
↑
1 462.46 m
↓
N 53.225769°
E118.037109°		 ← 1 462.66 m →
2 138 763 m²		 N 53.225769°
E118.059082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827911376953125 y=0.324676513671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827911376953125 × 214)
    floor (0.827911376953125 × 16384)
    floor (13564.5)     		tx = 13564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324676513671875 × 214)
    floor (0.324676513671875 × 16384)
    floor (5319.5)     		ty = 5319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13564 / 5319 ti = "14/13564/5319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13564/5319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13564 ÷ 214
    13564 ÷ 16384     		x = 0.827880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5319 ÷ 214
    5319 ÷ 16384     		y = 0.32464599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827880859375 × 2 - 1) × π
    0.65576171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.06013620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32464599609375 × 2 - 1) × π
    0.3507080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.10178170086737
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06013620} λ = 2.06013620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10178170086737))-π/2
    2×atan(3.00952332028959)-π/2
    2×1.24999539108408-π/2
    2.49999078216816-1.57079632675     		φ = 0.92919446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06013620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.037109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92919446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.238921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13564 KachelY 5319 2.06013620 0.92919446 118.037109 53.238921
    Oben rechts KachelX + 1 13565 KachelY 5319 2.06051969 0.92919446 118.059082 53.238921
    Unten links KachelX 13564 KachelY + 1 5320 2.06013620 0.92896491 118.037109 53.225769
    Unten rechts KachelX + 1 13565 KachelY + 1 5320 2.06051969 0.92896491 118.059082 53.225769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92919446-0.92896491) × R
    0.000229550000000023 × 6371000     		dl = 1462.46305000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92919446-0.92896491) × R
    0.000229550000000023 × 6371000     		dr = 1462.46305000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06013620-2.06051969) × cos(0.92919446) × R
    0.000383489999999931 × 0.598479525179003 × 6371000     		do = 1462.21402742926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06013620-2.06051969) × cos(0.92896491) × R
    0.000383489999999931 × 0.598663410660725 × 6371000     		du = 1462.66329915786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92919446)-sin(0.92896491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598479525179003-0.598663410660725)×R²
    abs(2.06051969-2.06013620)×0.000183885481721213×R²
    0.000383489999999931×0.000183885481721213×6371000²
    0.000383489999999931×0.000183885481721213×40589641000000     		ar = 2138762.51735029m²