Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13564 / 12526
↖ ↑ ↗
← S 68.512143°
E118.037109°		 ← 894.96 m → S 68.512143°
E118.059082°		 →
↑
894.81 m
↓
↑
894.81 m
↓
S 68.520191°
E118.037109°		 ← 894.64 m →
800 673 m²		 S 68.520191°
E118.059082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827911376953125 y=0.764556884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827911376953125 × 214)
    floor (0.827911376953125 × 16384)
    floor (13564.5)     		tx = 13564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764556884765625 × 214)
    floor (0.764556884765625 × 16384)
    floor (12526.5)     		ty = 12526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13564 / 12526 ti = "14/13564/12526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13564/12526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13564 ÷ 214
    13564 ÷ 16384     		x = 0.827880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12526 ÷ 214
    12526 ÷ 16384     		y = 0.7645263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827880859375 × 2 - 1) × π
    0.65576171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.06013620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7645263671875 × 2 - 1) × π
    -0.529052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.66206818362659
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06013620} λ = 2.06013620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66206818362659))-π/2
    2×atan(0.189746144144571)-π/2
    2×0.187516924152415-π/2
    0.37503384830483-1.57079632675     		φ = -1.19576248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06013620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.037109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19576248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.512143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13564 KachelY 12526 2.06013620 -1.19576248 118.037109 -68.512143
    Oben rechts KachelX + 1 13565 KachelY 12526 2.06051969 -1.19576248 118.059082 -68.512143
    Unten links KachelX 13564 KachelY + 1 12527 2.06013620 -1.19590293 118.037109 -68.520191
    Unten rechts KachelX + 1 13565 KachelY + 1 12527 2.06051969 -1.19590293 118.059082 -68.520191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19576248--1.19590293) × R
    0.000140449999999959 × 6371000     		dl = 894.806949999737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19576248--1.19590293) × R
    0.000140449999999959 × 6371000     		dr = 894.806949999737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06013620-2.06051969) × cos(-1.19576248) × R
    0.000383489999999931 × 0.366304023576868 × 6371000     		do = 894.959408039352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06013620-2.06051969) × cos(-1.19590293) × R
    0.000383489999999931 × 0.366173331910161 × 6371000     		du = 894.640100226324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19576248)-sin(-1.19590293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366304023576868-0.366173331910161)×R²
    abs(2.06051969-2.06013620)×0.000130691666706761×R²
    0.000383489999999931×0.000130691666706761×6371000²
    0.000383489999999931×0.000130691666706761×40589641000000     		ar = 800673.040170827m²