Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 13563 / 4357
↖ ↑ ↗
← N 82.491235°
W105.496216°		 ← 79.82 m → N 82.491235°
W105.490723°		 →
↑
79.83 m
↓
↑
79.83 m
↓
N 82.490517°
W105.496216°		 ← 79.82 m →
6 372 m²		 N 82.490517°
W105.490723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.206962585449219 y=0.0664901733398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.206962585449219 × 216)
    floor (0.206962585449219 × 65536)
    floor (13563.5)     		tx = 13563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0664901733398438 × 216)
    floor (0.0664901733398438 × 65536)
    floor (4357.5)     		ty = 4357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 13563 / 4357 ti = "16/13563/4357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/13563/4357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13563 ÷ 216
    13563 ÷ 65536     		x = 0.206954956054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4357 ÷ 216
    4357 ÷ 65536     		y = 0.0664825439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.206954956054688 × 2 - 1) × π
    -0.586090087890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.84125631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0664825439453125 × 2 - 1) × π
    0.867034912109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.72387051021083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.84125631} λ = -1.84125631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.72387051021083))-π/2
    2×atan(15.2391916911101)-π/2
    2×1.5052699933169-π/2
    3.01053998663379-1.57079632675     		φ = 1.43974366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.84125631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -105.496216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43974366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.491235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13563 KachelY 4357 -1.84125631 1.43974366 -105.496216 82.491235
    Oben rechts KachelX + 1 13564 KachelY 4357 -1.84116044 1.43974366 -105.490723 82.491235
    Unten links KachelX 13563 KachelY + 1 4358 -1.84125631 1.43973113 -105.496216 82.490517
    Unten rechts KachelX + 1 13564 KachelY + 1 4358 -1.84116044 1.43973113 -105.490723 82.490517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43974366-1.43973113) × R
    1.25300000000106e-05 × 6371000     		dl = 79.8286300000675m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43974366-1.43973113) × R
    1.25300000000106e-05 × 6371000     		dr = 79.8286300000675m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.84125631--1.84116044) × cos(1.43974366) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.130677854883254 × 6371000     		do = 79.8164355725245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.84125631--1.84116044) × cos(1.43973113) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.130690277426777 × 6371000     		du = 79.8240231101806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43974366)-sin(1.43973113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.130677854883254-0.130690277426777)×R²
    abs(-1.84116044--1.84125631)×1.24225435229608e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.24225435229608e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.24225435229608e-05×40589641000000     		ar = 6371.9395543152m²