Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13563 / 3698
↖ ↑ ↗
← N 79.962761°
W 30.992432°		 ← 212.92 m → N 79.962761°
W 30.981445°		 →
↑
212.92 m
↓
↑
212.92 m
↓
N 79.960846°
W 30.992432°		 ← 212.96 m →
45 338 m²		 N 79.960846°
W 30.981445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413925170898438 y=0.112869262695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413925170898438 × 215)
    floor (0.413925170898438 × 32768)
    floor (13563.5)     		tx = 13563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112869262695312 × 215)
    floor (0.112869262695312 × 32768)
    floor (3698.5)     		ty = 3698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13563 / 3698 ti = "15/13563/3698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13563/3698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13563 ÷ 215
    13563 ÷ 32768     		x = 0.413909912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3698 ÷ 215
    3698 ÷ 32768     		y = 0.11285400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413909912109375 × 2 - 1) × π
    -0.17218017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54091998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11285400390625 × 2 - 1) × π
    0.7742919921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.43251003432013
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54091998} λ = -0.54091998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43251003432013))-π/2
    2×atan(11.3874290758424)-π/2
    2×1.48320489027278-π/2
    2.96640978054555-1.57079632675     		φ = 1.39561345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54091998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.992432°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39561345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.962761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13563 KachelY 3698 -0.54091998 1.39561345 -30.992432 79.962761
    Oben rechts KachelX + 1 13564 KachelY 3698 -0.54072823 1.39561345 -30.981445 79.962761
    Unten links KachelX 13563 KachelY + 1 3699 -0.54091998 1.39558003 -30.992432 79.960846
    Unten rechts KachelX + 1 13564 KachelY + 1 3699 -0.54072823 1.39558003 -30.981445 79.960846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39561345-1.39558003) × R
    3.34199999998397e-05 × 6371000     		dl = 212.918819998979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39561345-1.39558003) × R
    3.34199999998397e-05 × 6371000     		dr = 212.918819998979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54091998--0.54072823) × cos(1.39561345) × R
    0.000191749999999935 × 0.174288218314447 × 6371000     		do = 212.917328305426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54091998--0.54072823) × cos(1.39558003) × R
    0.000191749999999935 × 0.174321126713386 × 6371000     		du = 212.957530497224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39561345)-sin(1.39558003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174288218314447-0.174321126713386)×R²
    abs(-0.54072823--0.54091998)×3.29083989385748e-05×R²
    0.000191749999999935×3.29083989385748e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.29083989385748e-05×40589641000000     		ar = 45338.3862054839m²