Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13563 / 3177
↖ ↑ ↗
← N 80.912823°
W 30.992432°		 ← 192.94 m → N 80.912823°
W 30.981445°		 →
↑
192.91 m
↓
↑
192.91 m
↓
N 80.911088°
W 30.992432°		 ← 192.98 m →
37 225 m²		 N 80.911088°
W 30.981445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413925170898438 y=0.0969696044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413925170898438 × 215)
    floor (0.413925170898438 × 32768)
    floor (13563.5)     		tx = 13563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0969696044921875 × 215)
    floor (0.0969696044921875 × 32768)
    floor (3177.5)     		ty = 3177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13563 / 3177 ti = "15/13563/3177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13563/3177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13563 ÷ 215
    13563 ÷ 32768     		x = 0.413909912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3177 ÷ 215
    3177 ÷ 32768     		y = 0.096954345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413909912109375 × 2 - 1) × π
    -0.17218017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54091998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.096954345703125 × 2 - 1) × π
    0.80609130859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.53241053312833
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54091998} λ = -0.54091998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53241053312833))-π/2
    2×atan(12.5838032805513)-π/2
    2×1.49149574458564-π/2
    2.98299148917128-1.57079632675     		φ = 1.41219516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54091998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.992432°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41219516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.912823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13563 KachelY 3177 -0.54091998 1.41219516 -30.992432 80.912823
    Oben rechts KachelX + 1 13564 KachelY 3177 -0.54072823 1.41219516 -30.981445 80.912823
    Unten links KachelX 13563 KachelY + 1 3178 -0.54091998 1.41216488 -30.992432 80.911088
    Unten rechts KachelX + 1 13564 KachelY + 1 3178 -0.54072823 1.41216488 -30.981445 80.911088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41219516-1.41216488) × R
    3.02800000000492e-05 × 6371000     		dl = 192.913880000313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41219516-1.41216488) × R
    3.02800000000492e-05 × 6371000     		dr = 192.913880000313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54091998--0.54072823) × cos(1.41219516) × R
    0.000191749999999935 × 0.157937084887963 × 6371000     		do = 192.942141929652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54091998--0.54072823) × cos(1.41216488) × R
    0.000191749999999935 × 0.157966984776634 × 6371000     		du = 192.978668807224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41219516)-sin(1.41216488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157937084887963-0.157966984776634)×R²
    abs(-0.54072823--0.54091998)×2.98998886714141e-05×R²
    0.000191749999999935×2.98998886714141e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.98998886714141e-05×40589641000000     		ar = 37224.7404886695m²