Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 13563 / 15610
↖ ↑ ↗
← N 79.563532°
W142.748108°		 ← 55.31 m → N 79.563532°
W142.745361°		 →
↑
55.36 m
↓
↑
55.36 m
↓
N 79.563034°
W142.748108°		 ← 55.32 m →
3 063 m²		 N 79.563034°
W142.745361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.103481292724609 y=0.119098663330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.103481292724609 × 217)
    floor (0.103481292724609 × 131072)
    floor (13563.5)     		tx = 13563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119098663330078 × 217)
    floor (0.119098663330078 × 131072)
    floor (15610.5)     		ty = 15610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13563 / 15610 ti = "17/13563/15610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13563/15610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13563 ÷ 217
    13563 ÷ 131072     		x = 0.103477478027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15610 ÷ 217
    15610 ÷ 131072     		y = 0.119094848632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.103477478027344 × 2 - 1) × π
    -0.793045043945312 × 3.1415926535     		Λ = -2.49142448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119094848632812 × 2 - 1) × π
    0.761810302734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.39329765043092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.49142448} λ = -2.49142448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39329765043092))-π/2
    2×atan(10.9495422357128)-π/2
    2×1.47972096117927-π/2
    2.95944192235855-1.57079632675     		φ = 1.38864560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.49142448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.748108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38864560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.563532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13563 KachelY 15610 -2.49142448 1.38864560 -142.748108 79.563532
    Oben rechts KachelX + 1 13564 KachelY 15610 -2.49137655 1.38864560 -142.745361 79.563532
    Unten links KachelX 13563 KachelY + 1 15611 -2.49142448 1.38863691 -142.748108 79.563034
    Unten rechts KachelX + 1 13564 KachelY + 1 15611 -2.49137655 1.38863691 -142.745361 79.563034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38864560-1.38863691) × R
    8.69000000003339e-06 × 6371000     		dl = 55.3639900002128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38864560-1.38863691) × R
    8.69000000003339e-06 × 6371000     		dr = 55.3639900002128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.49142448--2.49137655) × cos(1.38864560) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.181145136724864 × 6371000     		do = 55.3148466749658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.49142448--2.49137655) × cos(1.38863691) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.181153682953913 × 6371000     		du = 55.3174563688173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38864560)-sin(1.38863691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181145136724864-0.181153682953913)×R²
    abs(-2.49137655--2.49142448)×8.54622904974955e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.54622904974955e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.54622904974955e-06×40589641000000     		ar = 3062.52285977525m²