Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13563 / 12530
↖ ↑ ↗
← S 68.544315°
E118.015137°		 ← 893.71 m → S 68.544315°
E118.037109°		 →
↑
893.53 m
↓
↑
893.53 m
↓
S 68.552351°
E118.015137°		 ← 893.39 m →
798 413 m²		 S 68.552351°
E118.037109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827850341796875 y=0.764801025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827850341796875 × 214)
    floor (0.827850341796875 × 16384)
    floor (13563.5)     		tx = 13563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764801025390625 × 214)
    floor (0.764801025390625 × 16384)
    floor (12530.5)     		ty = 12530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13563 / 12530 ti = "14/13563/12530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13563/12530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13563 ÷ 214
    13563 ÷ 16384     		x = 0.82781982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12530 ÷ 214
    12530 ÷ 16384     		y = 0.7647705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82781982421875 × 2 - 1) × π
    0.6556396484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05975270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7647705078125 × 2 - 1) × π
    -0.529541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.66360216441443
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05975270} λ = 2.05975270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66360216441443))-π/2
    2×atan(0.189455300336326)-π/2
    2×0.18723617291323-π/2
    0.374472345826461-1.57079632675     		φ = -1.19632398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05975270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.015137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19632398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.544315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13563 KachelY 12530 2.05975270 -1.19632398 118.015137 -68.544315
    Oben rechts KachelX + 1 13564 KachelY 12530 2.06013620 -1.19632398 118.037109 -68.544315
    Unten links KachelX 13563 KachelY + 1 12531 2.05975270 -1.19646423 118.015137 -68.552351
    Unten rechts KachelX + 1 13564 KachelY + 1 12531 2.06013620 -1.19646423 118.037109 -68.552351
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19632398--1.19646423) × R
    0.000140249999999842 × 6371000     		dl = 893.532749998993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19632398--1.19646423) × R
    0.000140249999999842 × 6371000     		dr = 893.532749998993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05975270-2.06013620) × cos(-1.19632398) × R
    0.00038349999999987 × 0.365781492791342 × 6371000     		do = 893.706057034687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05975270-2.06013620) × cos(-1.19646423) × R
    0.00038349999999987 × 0.365650958413094 × 6371000     		du = 893.387125194804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19632398)-sin(-1.19646423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365781492791342-0.365650958413094)×R²
    abs(2.06013620-2.05975270)×0.00013053437824756×R²
    0.00038349999999987×0.00013053437824756×6371000²
    0.00038349999999987×0.00013053437824756×40589641000000     		ar = 798413.144119412m²