Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13562 / 3240
↖ ↑ ↗
← N 80.802854°
W 31.003418°		 ← 195.25 m → N 80.802854°
W 30.992432°		 →
↑
195.27 m
↓
↑
195.27 m
↓
N 80.801097°
W 31.003418°		 ← 195.28 m →
38 130 m²		 N 80.801097°
W 30.992432°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413894653320312 y=0.0988922119140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413894653320312 × 215)
    floor (0.413894653320312 × 32768)
    floor (13562.5)     		tx = 13562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0988922119140625 × 215)
    floor (0.0988922119140625 × 32768)
    floor (3240.5)     		ty = 3240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13562 / 3240 ti = "15/13562/3240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13562/3240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13562 ÷ 215
    13562 ÷ 32768     		x = 0.41387939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3240 ÷ 215
    3240 ÷ 32768     		y = 0.098876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41387939453125 × 2 - 1) × π
    -0.1722412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54111172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.098876953125 × 2 - 1) × π
    0.80224609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.52033043442407
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54111172} λ = -0.54111172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52033043442407))-π/2
    2×atan(12.4327041783529)-π/2
    2×1.49053608513456-π/2
    2.98107217026912-1.57079632675     		φ = 1.41027584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54111172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.003418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41027584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.802854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13562 KachelY 3240 -0.54111172 1.41027584 -31.003418 80.802854
    Oben rechts KachelX + 1 13563 KachelY 3240 -0.54091998 1.41027584 -30.992432 80.802854
    Unten links KachelX 13562 KachelY + 1 3241 -0.54111172 1.41024519 -31.003418 80.801097
    Unten rechts KachelX + 1 13563 KachelY + 1 3241 -0.54091998 1.41024519 -30.992432 80.801097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41027584-1.41024519) × R
    3.06500000000209e-05 × 6371000     		dl = 195.271150000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41027584-1.41024519) × R
    3.06500000000209e-05 × 6371000     		dr = 195.271150000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54111172--0.54091998) × cos(1.41027584) × R
    0.000191739999999996 × 0.159832023775436 × 6371000     		do = 195.246890752766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54111172--0.54091998) × cos(1.41024519) × R
    0.000191739999999996 × 0.159862279670902 × 6371000     		du = 195.283850614609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41027584)-sin(1.41024519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159832023775436-0.159862279670902)×R²
    abs(-0.54091998--0.54111172)×3.02558954666798e-05×R²
    0.000191739999999996×3.02558954666798e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.02558954666798e-05×40589641000000     		ar = 38129.6934920192m²