Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 13562 / 12523
↖ ↑ ↗
← S 68.487985°
E117.993164°		 ← 895.92 m → S 68.487985°
E118.015137°		 →
↑
895.76 m
↓
↑
895.76 m
↓
S 68.496040°
E117.993164°		 ← 895.60 m →
802 387 m²		 S 68.496040°
E118.015137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827789306640625 y=0.764373779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827789306640625 × 214)
    floor (0.827789306640625 × 16384)
    floor (13562.5)     		tx = 13562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764373779296875 × 214)
    floor (0.764373779296875 × 16384)
    floor (12523.5)     		ty = 12523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13562 / 12523 ti = "14/13562/12523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13562/12523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13562 ÷ 214
    13562 ÷ 16384     		x = 0.8277587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12523 ÷ 214
    12523 ÷ 16384     		y = 0.76434326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8277587890625 × 2 - 1) × π
    0.655517578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05936921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76434326171875 × 2 - 1) × π
    -0.5286865234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.66091769803571
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05936921} λ = 2.05936921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66091769803571))-π/2
    2×atan(0.189964569973127)-π/2
    2×0.187727750724523-π/2
    0.375455501449047-1.57079632675     		φ = -1.19534083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05936921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.993164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19534083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.487985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13562 KachelY 12523 2.05936921 -1.19534083 117.993164 -68.487985
    Oben rechts KachelX + 1 13563 KachelY 12523 2.05975270 -1.19534083 118.015137 -68.487985
    Unten links KachelX 13562 KachelY + 1 12524 2.05936921 -1.19548143 117.993164 -68.496040
    Unten rechts KachelX + 1 13563 KachelY + 1 12524 2.05975270 -1.19548143 118.015137 -68.496040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19534083--1.19548143) × R
    0.000140600000000157 × 6371000     		dl = 895.762600001002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19534083--1.19548143) × R
    0.000140600000000157 × 6371000     		dr = 895.762600001002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05936921-2.05975270) × cos(-1.19534083) × R
    0.000383490000000375 × 0.366696334314177 × 6371000     		do = 895.917907436057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05936921-2.05975270) × cos(-1.19548143) × R
    0.000383490000000375 × 0.366565524789182 × 6371000     		du = 895.598311669916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19534083)-sin(-1.19548143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366696334314177-0.366565524789182)×R²
    abs(2.05975270-2.05936921)×0.000130809524994946×R²
    0.000383490000000375×0.000130809524994946×6371000²
    0.000383490000000375×0.000130809524994946×40589641000000     		ar = 802386.614507235m²