Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13561 / 3151
↖ ↑ ↗
← N 80.957825°
W 31.014404°		 ← 191.99 m → N 80.957825°
W 31.003418°		 →
↑
192.02 m
↓
↑
192.02 m
↓
N 80.956099°
W 31.014404°		 ← 192.03 m →
36 871 m²		 N 80.956099°
W 31.003418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413864135742188 y=0.0961761474609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413864135742188 × 215)
    floor (0.413864135742188 × 32768)
    floor (13561.5)     		tx = 13561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0961761474609375 × 215)
    floor (0.0961761474609375 × 32768)
    floor (3151.5)     		ty = 3151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13561 / 3151 ti = "15/13561/3151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13561/3151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13561 ÷ 215
    13561 ÷ 32768     		x = 0.413848876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3151 ÷ 215
    3151 ÷ 32768     		y = 0.096160888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413848876953125 × 2 - 1) × π
    -0.17230224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54130347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.096160888671875 × 2 - 1) × π
    0.80767822265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.53739597068881
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54130347} λ = -0.54130347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53739597068881))-π/2
    2×atan(12.6466956889037)-π/2
    2×1.49188846981684-π/2
    2.98377693963368-1.57079632675     		φ = 1.41298061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54130347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.014404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41298061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.957825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13561 KachelY 3151 -0.54130347 1.41298061 -31.014404 80.957825
    Oben rechts KachelX + 1 13562 KachelY 3151 -0.54111172 1.41298061 -31.003418 80.957825
    Unten links KachelX 13561 KachelY + 1 3152 -0.54130347 1.41295047 -31.014404 80.956099
    Unten rechts KachelX + 1 13562 KachelY + 1 3152 -0.54111172 1.41295047 -31.003418 80.956099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41298061-1.41295047) × R
    3.01400000000118e-05 × 6371000     		dl = 192.021940000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41298061-1.41295047) × R
    3.01400000000118e-05 × 6371000     		dr = 192.021940000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54130347--0.54111172) × cos(1.41298061) × R
    0.000191750000000046 × 0.157161444293418 × 6371000     		do = 191.994588935574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54130347--0.54111172) × cos(1.41295047) × R
    0.000191750000000046 × 0.157191209669962 × 6371000     		du = 192.030951487851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41298061)-sin(1.41295047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157161444293418-0.157191209669962)×R²
    abs(-0.54111172--0.54130347)×2.97653765437833e-05×R²
    0.000191750000000046×2.97653765437833e-05×6371000²
    0.000191750000000046×2.97653765437833e-05×40589641000000     		ar = 36870.6646434995m²