Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13560 / 3224
↖ ↑ ↗
← N 80.830907°
W 31.025391°		 ← 194.67 m → N 80.830907°
W 31.014404°		 →
↑
194.70 m
↓
↑
194.70 m
↓
N 80.829156°
W 31.025391°		 ← 194.70 m →
37 905 m²		 N 80.829156°
W 31.014404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413833618164062 y=0.0984039306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413833618164062 × 215)
    floor (0.413833618164062 × 32768)
    floor (13560.5)     		tx = 13560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0984039306640625 × 215)
    floor (0.0984039306640625 × 32768)
    floor (3224.5)     		ty = 3224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13560 / 3224 ti = "15/13560/3224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13560/3224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13560 ÷ 215
    13560 ÷ 32768     		x = 0.413818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3224 ÷ 215
    3224 ÷ 32768     		y = 0.098388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413818359375 × 2 - 1) × π
    -0.17236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54149522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.098388671875 × 2 - 1) × π
    0.80322265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.52339839599976
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54149522} λ = -0.54149522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52339839599976))-π/2
    2×atan(12.4709058076553)-π/2
    2×1.49078089348258-π/2
    2.98156178696515-1.57079632675     		φ = 1.41076546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54149522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.025391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41076546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.830907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13560 KachelY 3224 -0.54149522 1.41076546 -31.025391 80.830907
    Oben rechts KachelX + 1 13561 KachelY 3224 -0.54130347 1.41076546 -31.014404 80.830907
    Unten links KachelX 13560 KachelY + 1 3225 -0.54149522 1.41073490 -31.025391 80.829156
    Unten rechts KachelX + 1 13561 KachelY + 1 3225 -0.54130347 1.41073490 -31.014404 80.829156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41076546-1.41073490) × R
    3.05599999999018e-05 × 6371000     		dl = 194.697759999374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41076546-1.41073490) × R
    3.05599999999018e-05 × 6371000     		dr = 194.697759999374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54149522--0.54130347) × cos(1.41076546) × R
    0.000191750000000046 × 0.159348679080418 × 6371000     		do = 194.666600800339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54149522--0.54130347) × cos(1.41073490) × R
    0.000191750000000046 × 0.159378848521486 × 6371000     		du = 194.703456973699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41076546)-sin(1.41073490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159348679080418-0.159378848521486)×R²
    abs(-0.54130347--0.54149522)×3.01694410686781e-05×R²
    0.000191750000000046×3.01694410686781e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.01694410686781e-05×40589641000000     		ar = 37904.7390324626m²