Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 13560 / 16120
↖ ↑ ↗
← N 79.306718°
W142.756347°		 ← 56.66 m → N 79.306718°
W142.753601°		 →
↑
56.70 m
↓
↑
56.70 m
↓
N 79.306208°
W142.756347°		 ← 56.66 m →
3 213 m²		 N 79.306208°
W142.753601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.103458404541016 y=0.122989654541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.103458404541016 × 217)
    floor (0.103458404541016 × 131072)
    floor (13560.5)     		tx = 13560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122989654541016 × 217)
    floor (0.122989654541016 × 131072)
    floor (16120.5)     		ty = 16120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13560 / 16120 ti = "17/13560/16120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13560/16120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13560 ÷ 217
    13560 ÷ 131072     		x = 0.10345458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16120 ÷ 217
    16120 ÷ 131072     		y = 0.12298583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.10345458984375 × 2 - 1) × π
    -0.7930908203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.49156829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12298583984375 × 2 - 1) × π
    0.7540283203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.36884983162469
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.49156829} λ = -2.49156829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36884983162469))-π/2
    2×atan(10.6850955548178)-π/2
    2×1.4774798325836-π/2
    2.95495966516721-1.57079632675     		φ = 1.38416334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.49156829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.756347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38416334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.306718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13560 KachelY 16120 -2.49156829 1.38416334 -142.756347 79.306718
    Oben rechts KachelX + 1 13561 KachelY 16120 -2.49152036 1.38416334 -142.753601 79.306718
    Unten links KachelX 13560 KachelY + 1 16121 -2.49156829 1.38415444 -142.756347 79.306208
    Unten rechts KachelX + 1 13561 KachelY + 1 16121 -2.49152036 1.38415444 -142.753601 79.306208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38416334-1.38415444) × R
    8.89999999986735e-06 × 6371000     		dl = 56.7018999991549m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38416334-1.38415444) × R
    8.89999999986735e-06 × 6371000     		dr = 56.7018999991549m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.49156829--2.49152036) × cos(1.38416334) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185551409472086 × 6371000     		do = 56.6603550657921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.49156829--2.49152036) × cos(1.38415444) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185560154912303 × 6371000     		du = 56.6630255911699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38416334)-sin(1.38415444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185551409472086-0.185560154912303)×R²
    abs(-2.49152036--2.49156829)×8.74544021658985e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.74544021658985e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.74544021658985e-06×40589641000000     		ar = 3212.82549897423m²