Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13560 / 12518
↖ ↑ ↗
← S 68.447662°
E117.949219°		 ← 897.52 m → S 68.447662°
E117.971191°		 →
↑
897.36 m
↓
↑
897.36 m
↓
S 68.455732°
E117.949219°		 ← 897.20 m →
805 248 m²		 S 68.455732°
E117.971191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827667236328125 y=0.764068603515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827667236328125 × 214)
    floor (0.827667236328125 × 16384)
    floor (13560.5)     		tx = 13560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764068603515625 × 214)
    floor (0.764068603515625 × 16384)
    floor (12518.5)     		ty = 12518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13560 / 12518 ti = "14/13560/12518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13560/12518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13560 ÷ 214
    13560 ÷ 16384     		x = 0.82763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12518 ÷ 214
    12518 ÷ 16384     		y = 0.7640380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82763671875 × 2 - 1) × π
    0.6552734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05860222
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7640380859375 × 2 - 1) × π
    -0.528076171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6590002220509
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05860222} λ = 2.05860222}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6590002220509))-π/2
    2×atan(0.190329171920041)-π/2
    2×0.18807963017365-π/2
    0.376159260347299-1.57079632675     		φ = -1.19463707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05860222} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.949219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19463707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.447662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13560 KachelY 12518 2.05860222 -1.19463707 117.949219 -68.447662
    Oben rechts KachelX + 1 13561 KachelY 12518 2.05898571 -1.19463707 117.971191 -68.447662
    Unten links KachelX 13560 KachelY + 1 12519 2.05860222 -1.19477792 117.949219 -68.455732
    Unten rechts KachelX + 1 13561 KachelY + 1 12519 2.05898571 -1.19477792 117.971191 -68.455732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19463707--1.19477792) × R
    0.00014084999999997 × 6371000     		dl = 897.35534999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19463707--1.19477792) × R
    0.00014084999999997 × 6371000     		dr = 897.35534999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05860222-2.05898571) × cos(-1.19463707) × R
    0.000383489999999931 × 0.367350980015386 × 6371000     		do = 897.517347494422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05860222-2.05898571) × cos(-1.19477792) × R
    0.000383489999999931 × 0.367219974266899 × 6371000     		du = 897.197272312146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19463707)-sin(-1.19477792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367350980015386-0.367219974266899)×R²
    abs(2.05898571-2.05860222)×0.000131005748486179×R²
    0.000383489999999931×0.000131005748486179×6371000²
    0.000383489999999931×0.000131005748486179×40589641000000     		ar = 805248.38423539m²