Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1356 / 2931
↖ ↑ ↗
← S 61.058286°
W 60.820313°		 ← 4 729.37 m → S 61.058286°
W 60.732422°		 →
↑
4 726.14 m
↓
↑
4 726.14 m
↓
S 61.100789°
W 60.820313°		 ← 4 723.03 m →
22 336 652 m²		 S 61.100789°
W 60.732422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3311767578125 y=0.7156982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3311767578125 × 212)
    floor (0.3311767578125 × 4096)
    floor (1356.5)     		tx = 1356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7156982421875 × 212)
    floor (0.7156982421875 × 4096)
    floor (2931.5)     		ty = 2931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1356 / 2931 ti = "12/1356/2931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1356/2931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1356 ÷ 212
    1356 ÷ 4096     		x = 0.3310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2931 ÷ 212
    2931 ÷ 4096     		y = 0.715576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3310546875 × 2 - 1) × π
    -0.337890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.06151471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.715576171875 × 2 - 1) × π
    -0.43115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.35450503566431
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.06151471} λ = -1.06151471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35450503566431))-π/2
    2×atan(0.258075000765496)-π/2
    2×0.252564105739115-π/2
    0.50512821147823-1.57079632675     		φ = -1.06566812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.06151471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.820313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06566812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.058286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1356 KachelY 2931 -1.06151471 -1.06566812 -60.820313 -61.058286
    Oben rechts KachelX + 1 1357 KachelY 2931 -1.05998072 -1.06566812 -60.732422 -61.058286
    Unten links KachelX 1356 KachelY + 1 2932 -1.06151471 -1.06640994 -60.820313 -61.100789
    Unten rechts KachelX + 1 1357 KachelY + 1 2932 -1.05998072 -1.06640994 -60.732422 -61.100789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06566812--1.06640994) × R
    0.000741820000000004 × 6371000     		dl = 4726.13522000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06566812--1.06640994) × R
    0.000741820000000004 × 6371000     		dr = 4726.13522000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.06151471--1.05998072) × cos(-1.06566812) × R
    0.00153398999999999 × 0.483919639661827 × 6371000     		do = 4729.37097473367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.06151471--1.05998072) × cos(-1.06640994) × R
    0.00153398999999999 × 0.483270330661515 × 6371000     		du = 4723.02524521987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06566812)-sin(-1.06640994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.483919639661827-0.483270330661515)×R²
    abs(-1.05998072--1.06151471)×0.000649309000312293×R²
    0.00153398999999999×0.000649309000312293×6371000²
    0.00153398999999999×0.000649309000312293×40589641000000     		ar = 22336652.3685778m²