Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13559 / 5311
↖ ↑ ↗
← N 53.343993°
E117.927246°		 ← 1 458.66 m → N 53.343993°
E117.949219°		 →
↑
1 458.83 m
↓
↑
1 458.83 m
↓
N 53.330873°
E117.927246°		 ← 1 459.11 m →
2 128 267 m²		 N 53.330873°
E117.949219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827606201171875 y=0.324188232421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827606201171875 × 214)
    floor (0.827606201171875 × 16384)
    floor (13559.5)     		tx = 13559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324188232421875 × 214)
    floor (0.324188232421875 × 16384)
    floor (5311.5)     		ty = 5311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13559 / 5311 ti = "14/13559/5311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13559/5311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13559 ÷ 214
    13559 ÷ 16384     		x = 0.82757568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5311 ÷ 214
    5311 ÷ 16384     		y = 0.32415771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82757568359375 × 2 - 1) × π
    0.6551513671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05821872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32415771484375 × 2 - 1) × π
    0.3516845703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.10484966244305
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05821872} λ = 2.05821872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10484966244305))-π/2
    2×atan(3.01877060009367)-π/2
    2×1.25091231936573-π/2
    2.50182463873145-1.57079632675     		φ = 0.93102831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05821872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.927246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93102831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.343993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13559 KachelY 5311 2.05821872 0.93102831 117.927246 53.343993
    Oben rechts KachelX + 1 13560 KachelY 5311 2.05860222 0.93102831 117.949219 53.343993
    Unten links KachelX 13559 KachelY + 1 5312 2.05821872 0.93079933 117.927246 53.330873
    Unten rechts KachelX + 1 13560 KachelY + 1 5312 2.05860222 0.93079933 117.949219 53.330873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93102831-0.93079933) × R
    0.000228979999999934 × 6371000     		dl = 1458.83157999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93102831-0.93079933) × R
    0.000228979999999934 × 6371000     		dr = 1458.83157999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05821872-2.05860222) × cos(0.93102831) × R
    0.00038349999999987 × 0.59700935254995 × 6371000     		do = 1458.66011538372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05821872-2.05860222) × cos(0.93079933) × R
    0.00038349999999987 × 0.597193032501625 × 6371000     		du = 1459.10889666053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93102831)-sin(0.93079933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59700935254995-0.597193032501625)×R²
    abs(2.05860222-2.05821872)×0.00018367995167512×R²
    0.00038349999999987×0.00018367995167512×6371000²
    0.00038349999999987×0.00018367995167512×40589641000000     		ar = 2128266.79825595m²