Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 13559 / 16118
↖ ↑ ↗
← N 79.307737°
W142.759094°		 ← 56.67 m → N 79.307737°
W142.756347°		 →
↑
56.70 m
↓
↑
56.70 m
↓
N 79.307227°
W142.759094°		 ← 56.67 m →
3 213 m²		 N 79.307227°
W142.756347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.103450775146484 y=0.122974395751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.103450775146484 × 217)
    floor (0.103450775146484 × 131072)
    floor (13559.5)     		tx = 13559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122974395751953 × 217)
    floor (0.122974395751953 × 131072)
    floor (16118.5)     		ty = 16118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13559 / 16118 ti = "17/13559/16118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13559/16118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13559 ÷ 217
    13559 ÷ 131072     		x = 0.103446960449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16118 ÷ 217
    16118 ÷ 131072     		y = 0.122970581054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.103446960449219 × 2 - 1) × π
    -0.793106079101562 × 3.1415926535     		Λ = -2.49161623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122970581054688 × 2 - 1) × π
    0.754058837890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.36894570542393
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.49161623} λ = -2.49161623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36894570542393))-π/2
    2×atan(10.686120024633)-π/2
    2×1.477488726924-π/2
    2.954977453848-1.57079632675     		φ = 1.38418113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.49161623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.759094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38418113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.307737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13559 KachelY 16118 -2.49161623 1.38418113 -142.759094 79.307737
    Oben rechts KachelX + 1 13560 KachelY 16118 -2.49156829 1.38418113 -142.756347 79.307737
    Unten links KachelX 13559 KachelY + 1 16119 -2.49161623 1.38417223 -142.759094 79.307227
    Unten rechts KachelX + 1 13560 KachelY + 1 16119 -2.49156829 1.38417223 -142.756347 79.307227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38418113-1.38417223) × R
    8.90000000008939e-06 × 6371000     		dl = 56.7019000005695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38418113-1.38417223) × R
    8.90000000008939e-06 × 6371000     		dr = 56.7019000005695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.49161623--2.49156829) × cos(1.38418113) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185533928373939 × 6371000     		do = 56.6668373686802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.49161623--2.49156829) × cos(1.38417223) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185542673843534 × 6371000     		du = 56.6695084602028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38418113)-sin(1.38417223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185533928373939-0.185542673843534)×R²
    abs(-2.49156829--2.49161623)×8.74546959467315e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.74546959467315e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.74546959467315e-06×40589641000000     		ar = 3213.19307388421m²