Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13559 / 12519
↖ ↑ ↗
← S 68.455732°
E117.927246°		 ← 897.22 m → S 68.455732°
E117.949219°		 →
↑
897.04 m
↓
↑
897.04 m
↓
S 68.463800°
E117.927246°		 ← 896.90 m →
804 696 m²		 S 68.463800°
E117.949219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827606201171875 y=0.764129638671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827606201171875 × 214)
    floor (0.827606201171875 × 16384)
    floor (13559.5)     		tx = 13559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764129638671875 × 214)
    floor (0.764129638671875 × 16384)
    floor (12519.5)     		ty = 12519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13559 / 12519 ti = "14/13559/12519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13559/12519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13559 ÷ 214
    13559 ÷ 16384     		x = 0.82757568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12519 ÷ 214
    12519 ÷ 16384     		y = 0.76409912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82757568359375 × 2 - 1) × π
    0.6551513671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05821872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76409912109375 × 2 - 1) × π
    -0.5281982421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.65938371724786
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05821872} λ = 2.05821872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65938371724786))-π/2
    2×atan(0.190256195590698)-π/2
    2×0.188009204065646-π/2
    0.376018408131291-1.57079632675     		φ = -1.19477792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05821872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.927246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19477792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.455732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13559 KachelY 12519 2.05821872 -1.19477792 117.927246 -68.455732
    Oben rechts KachelX + 1 13560 KachelY 12519 2.05860222 -1.19477792 117.949219 -68.455732
    Unten links KachelX 13559 KachelY + 1 12520 2.05821872 -1.19491872 117.927246 -68.463800
    Unten rechts KachelX + 1 13560 KachelY + 1 12520 2.05860222 -1.19491872 117.949219 -68.463800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19477792--1.19491872) × R
    0.000140800000000052 × 6371000     		dl = 897.036800000331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19477792--1.19491872) × R
    0.000140800000000052 × 6371000     		dr = 897.036800000331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05821872-2.05860222) × cos(-1.19477792) × R
    0.00038349999999987 × 0.367219974266899 × 6371000     		do = 897.220667896564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05821872-2.05860222) × cos(-1.19491872) × R
    0.00038349999999987 × 0.367089007742529 × 6371000     		du = 896.900680203351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19477792)-sin(-1.19491872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367219974266899-0.367089007742529)×R²
    abs(2.05860222-2.05821872)×0.000130966524370002×R²
    0.00038349999999987×0.000130966524370002×6371000²
    0.00038349999999987×0.000130966524370002×40589641000000     		ar = 804696.437785375m²