Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13558 / 3141
↖ ↑ ↗
← N 80.975076°
W 31.047363°		 ← 191.62 m → N 80.975076°
W 31.036377°		 →
↑
191.64 m
↓
↑
191.64 m
↓
N 80.973352°
W 31.047363°		 ← 191.66 m →
36 726 m²		 N 80.973352°
W 31.036377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413772583007812 y=0.0958709716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413772583007812 × 215)
    floor (0.413772583007812 × 32768)
    floor (13558.5)     		tx = 13558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0958709716796875 × 215)
    floor (0.0958709716796875 × 32768)
    floor (3141.5)     		ty = 3141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13558 / 3141 ti = "15/13558/3141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13558/3141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13558 ÷ 215
    13558 ÷ 32768     		x = 0.41375732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3141 ÷ 215
    3141 ÷ 32768     		y = 0.095855712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41375732421875 × 2 - 1) × π
    -0.1724853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54187871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.095855712890625 × 2 - 1) × π
    0.80828857421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.53931344667361
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54187871} λ = -0.54187871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53931344667361))-π/2
    2×atan(12.6709686881837)-π/2
    2×1.49203900388526-π/2
    2.98407800777051-1.57079632675     		φ = 1.41328168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54187871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.047363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41328168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.975076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13558 KachelY 3141 -0.54187871 1.41328168 -31.047363 80.975076
    Oben rechts KachelX + 1 13559 KachelY 3141 -0.54168697 1.41328168 -31.036377 80.975076
    Unten links KachelX 13558 KachelY + 1 3142 -0.54187871 1.41325160 -31.047363 80.973352
    Unten rechts KachelX + 1 13559 KachelY + 1 3142 -0.54168697 1.41325160 -31.036377 80.973352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41328168-1.41325160) × R
    3.00800000001544e-05 × 6371000     		dl = 191.639680000984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41328168-1.41325160) × R
    3.00800000001544e-05 × 6371000     		dr = 191.639680000984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54187871--0.54168697) × cos(1.41328168) × R
    0.000191739999999996 × 0.156864108594845 × 6371000     		do = 191.621358163362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54187871--0.54168697) × cos(1.41325160) × R
    0.000191739999999996 × 0.156893816139369 × 6371000     		du = 191.657648173106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41328168)-sin(1.41325160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156864108594845-0.156893816139369)×R²
    abs(-0.54168697--0.54187871)×2.97075445238326e-05×R²
    0.000191739999999996×2.97075445238326e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.97075445238326e-05×40589641000000     		ar = 36725.7330656647m²