Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13557 / 3140
↖ ↑ ↗
← N 80.976799°
W 31.058350°		 ← 191.60 m → N 80.976799°
W 31.047363°		 →
↑
191.64 m
↓
↑
191.64 m
↓
N 80.975076°
W 31.058350°		 ← 191.63 m →
36 721 m²		 N 80.975076°
W 31.047363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413742065429688 y=0.0958404541015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413742065429688 × 215)
    floor (0.413742065429688 × 32768)
    floor (13557.5)     		tx = 13557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0958404541015625 × 215)
    floor (0.0958404541015625 × 32768)
    floor (3140.5)     		ty = 3140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13557 / 3140 ti = "15/13557/3140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13557/3140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13557 ÷ 215
    13557 ÷ 32768     		x = 0.413726806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3140 ÷ 215
    3140 ÷ 32768     		y = 0.0958251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413726806640625 × 2 - 1) × π
    -0.17254638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54207046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0958251953125 × 2 - 1) × π
    0.808349609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.53950519427209
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54207046} λ = -0.54207046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53950519427209))-π/2
    2×atan(12.6733985489527)-π/2
    2×1.4920540416193-π/2
    2.98410808323859-1.57079632675     		φ = 1.41331176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54207046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.058350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41331176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.976799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13557 KachelY 3140 -0.54207046 1.41331176 -31.058350 80.976799
    Oben rechts KachelX + 1 13558 KachelY 3140 -0.54187871 1.41331176 -31.047363 80.976799
    Unten links KachelX 13557 KachelY + 1 3141 -0.54207046 1.41328168 -31.058350 80.975076
    Unten rechts KachelX + 1 13558 KachelY + 1 3141 -0.54187871 1.41328168 -31.047363 80.975076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41331176-1.41328168) × R
    3.00799999999324e-05 × 6371000     		dl = 191.639679999569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41331176-1.41328168) × R
    3.00799999999324e-05 × 6371000     		dr = 191.639679999569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54207046--0.54187871) × cos(1.41331176) × R
    0.000191750000000046 × 0.15683440090839 × 6371000     		do = 191.595059899971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54207046--0.54187871) × cos(1.41328168) × R
    0.000191750000000046 × 0.156864108594845 × 6371000     		du = 191.631351975771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41331176)-sin(1.41328168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15683440090839-0.156864108594845)×R²
    abs(-0.54187871--0.54207046)×2.97076864552437e-05×R²
    0.000191750000000046×2.97076864552437e-05×6371000²
    0.000191750000000046×2.97076864552437e-05×40589641000000     		ar = 36720.693471951m²