Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13554 / 5322
↖ ↑ ↗
← N 53.199452°
E117.817383°		 ← 1 463.56 m → N 53.199452°
E117.839355°		 →
↑
1 463.80 m
↓
↑
1 463.80 m
↓
N 53.186288°
E117.817383°		 ← 1 464.01 m →
2 142 692 m²		 N 53.186288°
E117.839355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827301025390625 y=0.324859619140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827301025390625 × 214)
    floor (0.827301025390625 × 16384)
    floor (13554.5)     		tx = 13554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324859619140625 × 214)
    floor (0.324859619140625 × 16384)
    floor (5322.5)     		ty = 5322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13554 / 5322 ti = "14/13554/5322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13554/5322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13554 ÷ 214
    13554 ÷ 16384     		x = 0.8272705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5322 ÷ 214
    5322 ÷ 16384     		y = 0.3248291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8272705078125 × 2 - 1) × π
    0.654541015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05630125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3248291015625 × 2 - 1) × π
    0.350341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10063121527649
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05630125} λ = 2.05630125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10063121527649))-π/2
    2×atan(3.00606289803883)-π/2
    2×1.24965096136841-π/2
    2.49930192273683-1.57079632675     		φ = 0.92850560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05630125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.817383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92850560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.199452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13554 KachelY 5322 2.05630125 0.92850560 117.817383 53.199452
    Oben rechts KachelX + 1 13555 KachelY 5322 2.05668474 0.92850560 117.839355 53.199452
    Unten links KachelX 13554 KachelY + 1 5323 2.05630125 0.92827584 117.817383 53.186288
    Unten rechts KachelX + 1 13555 KachelY + 1 5323 2.05668474 0.92827584 117.839355 53.186288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92850560-0.92827584) × R
    0.000229760000000079 × 6371000     		dl = 1463.8009600005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92850560-0.92827584) × R
    0.000229760000000079 × 6371000     		dr = 1463.8009600005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05630125-2.05668474) × cos(0.92850560) × R
    0.000383489999999931 × 0.599031255130401 × 6371000     		do = 1463.56202220659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05630125-2.05668474) × cos(0.92827584) × R
    0.000383489999999931 × 0.599215214041193 × 6371000     		du = 1464.01147333819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92850560)-sin(0.92827584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599031255130401-0.599215214041193)×R²
    abs(2.05668474-2.05630125)×0.000183958910792481×R²
    0.000383489999999931×0.000183958910792481×6371000²
    0.000383489999999931×0.000183958910792481×40589641000000     		ar = 2142692.45605131m²