Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13554 / 5290
↖ ↑ ↗
← N 53.618579°
E117.817383°		 ← 1 449.21 m → N 53.618579°
E117.839355°		 →
↑
1 449.47 m
↓
↑
1 449.47 m
↓
N 53.605544°
E117.817383°		 ← 1 449.66 m →
2 100 908 m²		 N 53.605544°
E117.839355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827301025390625 y=0.322906494140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827301025390625 × 214)
    floor (0.827301025390625 × 16384)
    floor (13554.5)     		tx = 13554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322906494140625 × 214)
    floor (0.322906494140625 × 16384)
    floor (5290.5)     		ty = 5290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13554 / 5290 ti = "14/13554/5290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13554/5290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13554 ÷ 214
    13554 ÷ 16384     		x = 0.8272705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5290 ÷ 214
    5290 ÷ 16384     		y = 0.3228759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8272705078125 × 2 - 1) × π
    0.654541015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05630125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3228759765625 × 2 - 1) × π
    0.354248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.11290306157922
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05630125} λ = 2.05630125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11290306157922))-π/2
    2×atan(3.04318012252247)-π/2
    2×1.25330853846767-π/2
    2.50661707693534-1.57079632675     		φ = 0.93582075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05630125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.817383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93582075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.618579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13554 KachelY 5290 2.05630125 0.93582075 117.817383 53.618579
    Oben rechts KachelX + 1 13555 KachelY 5290 2.05668474 0.93582075 117.839355 53.618579
    Unten links KachelX 13554 KachelY + 1 5291 2.05630125 0.93559324 117.817383 53.605544
    Unten rechts KachelX + 1 13555 KachelY + 1 5291 2.05668474 0.93559324 117.839355 53.605544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93582075-0.93559324) × R
    0.000227509999999986 × 6371000     		dl = 1449.46620999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93582075-0.93559324) × R
    0.000227509999999986 × 6371000     		dr = 1449.46620999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05630125-2.05668474) × cos(0.93582075) × R
    0.000383489999999931 × 0.593157851747736 × 6371000     		do = 1449.21203619443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05630125-2.05668474) × cos(0.93559324) × R
    0.000383489999999931 × 0.593341001552608 × 6371000     		du = 1449.65951050648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93582075)-sin(0.93559324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593157851747736-0.593341001552608)×R²
    abs(2.05668474-2.05630125)×0.000183149804872218×R²
    0.000383489999999931×0.000183149804872218×6371000²
    0.000383489999999931×0.000183149804872218×40589641000000     		ar = 2100908.18609961m²