Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13554 / 3720
↖ ↑ ↗
← N 79.920548°
W 31.091308°		 ← 213.79 m → N 79.920548°
W 31.080322°		 →
↑
213.81 m
↓
↑
213.81 m
↓
N 79.918625°
W 31.091308°		 ← 213.83 m →
45 715 m²		 N 79.918625°
W 31.080322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413650512695312 y=0.113540649414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413650512695312 × 215)
    floor (0.413650512695312 × 32768)
    floor (13554.5)     		tx = 13554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113540649414062 × 215)
    floor (0.113540649414062 × 32768)
    floor (3720.5)     		ty = 3720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13554 / 3720 ti = "15/13554/3720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13554/3720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13554 ÷ 215
    13554 ÷ 32768     		x = 0.41363525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3720 ÷ 215
    3720 ÷ 32768     		y = 0.113525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41363525390625 × 2 - 1) × π
    -0.1727294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54264570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113525390625 × 2 - 1) × π
    0.77294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.42829158715356
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54264570} λ = -0.54264570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42829158715356))-π/2
    2×atan(11.3394929869385)-π/2
    2×1.48283651292501-π/2
    2.96567302585002-1.57079632675     		φ = 1.39487670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54264570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.091308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39487670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.920548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13554 KachelY 3720 -0.54264570 1.39487670 -31.091308 79.920548
    Oben rechts KachelX + 1 13555 KachelY 3720 -0.54245396 1.39487670 -31.080322 79.920548
    Unten links KachelX 13554 KachelY + 1 3721 -0.54264570 1.39484314 -31.091308 79.918625
    Unten rechts KachelX + 1 13555 KachelY + 1 3721 -0.54245396 1.39484314 -31.080322 79.918625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39487670-1.39484314) × R
    3.3559999999877e-05 × 6371000     		dl = 213.810759999217m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39487670-1.39484314) × R
    3.3559999999877e-05 × 6371000     		dr = 213.810759999217m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54264570--0.54245396) × cos(1.39487670) × R
    0.000191739999999996 × 0.175013644753984 × 6371000     		do = 213.792387597712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54264570--0.54245396) × cos(1.39484314) × R
    0.000191739999999996 × 0.17504668669065 × 6371000     		du = 213.832750819337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39487670)-sin(1.39484314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175013644753984-0.17504668669065)×R²
    abs(-0.54245396--0.54264570)×3.30419366662282e-05×R²
    0.000191739999999996×3.30419366662282e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.30419366662282e-05×40589641000000     		ar = 45715.4279242508m²