Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 13553 / 15635
↖ ↑ ↗
← N 79.551086°
W142.775574°		 ← 55.38 m → N 79.551086°
W142.772827°		 →
↑
55.36 m
↓
↑
55.36 m
↓
N 79.550588°
W142.775574°		 ← 55.38 m →
3 066 m²		 N 79.550588°
W142.772827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.103404998779297 y=0.119289398193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.103404998779297 × 217)
    floor (0.103404998779297 × 131072)
    floor (13553.5)     		tx = 13553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119289398193359 × 217)
    floor (0.119289398193359 × 131072)
    floor (15635.5)     		ty = 15635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13553 / 15635 ti = "17/13553/15635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13553/15635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13553 ÷ 217
    13553 ÷ 131072     		x = 0.103401184082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15635 ÷ 217
    15635 ÷ 131072     		y = 0.119285583496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.103401184082031 × 2 - 1) × π
    -0.793197631835938 × 3.1415926535     		Λ = -2.49190385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119285583496094 × 2 - 1) × π
    0.761428833007812 × 3.1415926535     		Φ = 2.39209922794042
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.49190385} λ = -2.49190385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39209922794042))-π/2
    2×atan(10.9364279178532)-π/2
    2×1.47961235298453-π/2
    2.95922470596907-1.57079632675     		φ = 1.38842838
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.49190385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.775574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38842838 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.551086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13553 KachelY 15635 -2.49190385 1.38842838 -142.775574 79.551086
    Oben rechts KachelX + 1 13554 KachelY 15635 -2.49185592 1.38842838 -142.772827 79.551086
    Unten links KachelX 13553 KachelY + 1 15636 -2.49190385 1.38841969 -142.775574 79.550588
    Unten rechts KachelX + 1 13554 KachelY + 1 15636 -2.49185592 1.38841969 -142.772827 79.550588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38842838-1.38841969) × R
    8.68999999981135e-06 × 6371000     		dl = 55.3639899987981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38842838-1.38841969) × R
    8.68999999981135e-06 × 6371000     		dr = 55.3639899987981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.49190385--2.49185592) × cos(1.38842838) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.181358758843107 × 6371000     		do = 55.3800787586455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.49190385--2.49185592) × cos(1.38841969) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.18136730473001 × 6371000     		du = 55.3826883480182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38842838)-sin(1.38841969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181358758843107-0.18136730473001)×R²
    abs(-2.49185592--2.49190385)×8.54588690274438e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.54588690274438e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.54588690274438e-06×40589641000000     		ar = 3066.13436531102m²