Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 13552 / 16110
↖ ↑ ↗
← N 79.311813°
W142.778320°		 ← 56.65 m → N 79.311813°
W142.775574°		 →
↑
56.70 m
↓
↑
56.70 m
↓
N 79.311303°
W142.778320°		 ← 56.65 m →
3 212 m²		 N 79.311303°
W142.775574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.103397369384766 y=0.122913360595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.103397369384766 × 217)
    floor (0.103397369384766 × 131072)
    floor (13552.5)     		tx = 13552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122913360595703 × 217)
    floor (0.122913360595703 × 131072)
    floor (16110.5)     		ty = 16110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13552 / 16110 ti = "17/13552/16110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13552/16110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13552 ÷ 217
    13552 ÷ 131072     		x = 0.1033935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16110 ÷ 217
    16110 ÷ 131072     		y = 0.122909545898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1033935546875 × 2 - 1) × π
    -0.793212890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.49195179
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122909545898438 × 2 - 1) × π
    0.754180908203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.3693292006209
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.49195179} λ = -2.49195179}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3693292006209))-π/2
    2×atan(10.6902188862332)-π/2
    2×1.47752429590746-π/2
    2.95504859181491-1.57079632675     		φ = 1.38425227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.49195179} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.778320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38425227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.311813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13552 KachelY 16110 -2.49195179 1.38425227 -142.778320 79.311813
    Oben rechts KachelX + 1 13553 KachelY 16110 -2.49190385 1.38425227 -142.775574 79.311813
    Unten links KachelX 13552 KachelY + 1 16111 -2.49195179 1.38424337 -142.778320 79.311303
    Unten rechts KachelX + 1 13553 KachelY + 1 16111 -2.49190385 1.38424337 -142.775574 79.311303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38425227-1.38424337) × R
    8.89999999986735e-06 × 6371000     		dl = 56.7018999991549m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38425227-1.38424337) × R
    8.89999999986735e-06 × 6371000     		dr = 56.7018999991549m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.49195179--2.49190385) × cos(1.38425227) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185464023047244 × 6371000     		do = 56.6454864825443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.49195179--2.49190385) × cos(1.38424337) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185472768634289 × 6371000     		du = 56.6481576099393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38425227)-sin(1.38424337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185464023047244-0.185472768634289)×R²
    abs(-2.49190385--2.49195179)×8.74558704513917e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.74558704513917e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.74558704513917e-06×40589641000000     		ar = 3211.98243888116m²