Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13551 / 5329
↖ ↑ ↗
← N 53.107217°
E117.751465°		 ← 1 466.75 m → N 53.107217°
E117.773438°		 →
↑
1 466.99 m
↓
↑
1 466.99 m
↓
N 53.094024°
E117.751465°		 ← 1 467.20 m →
2 152 029 m²		 N 53.094024°
E117.773438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827117919921875 y=0.325286865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827117919921875 × 214)
    floor (0.827117919921875 × 16384)
    floor (13551.5)     		tx = 13551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325286865234375 × 214)
    floor (0.325286865234375 × 16384)
    floor (5329.5)     		ty = 5329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13551 / 5329 ti = "14/13551/5329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13551/5329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13551 ÷ 214
    13551 ÷ 16384     		x = 0.82708740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5329 ÷ 214
    5329 ÷ 16384     		y = 0.32525634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82708740234375 × 2 - 1) × π
    0.6541748046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05515076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32525634765625 × 2 - 1) × π
    0.3494873046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.09794674889777
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05515076} λ = 2.05515076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09794674889777))-π/2
    2×atan(2.99800404495637)-π/2
    2×1.24884605730984-π/2
    2.49769211461969-1.57079632675     		φ = 0.92689579
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05515076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.751465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92689579 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.107217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13551 KachelY 5329 2.05515076 0.92689579 117.751465 53.107217
    Oben rechts KachelX + 1 13552 KachelY 5329 2.05553426 0.92689579 117.773438 53.107217
    Unten links KachelX 13551 KachelY + 1 5330 2.05515076 0.92666553 117.751465 53.094024
    Unten rechts KachelX + 1 13552 KachelY + 1 5330 2.05553426 0.92666553 117.773438 53.094024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92689579-0.92666553) × R
    0.000230260000000038 × 6371000     		dl = 1466.98646000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92689579-0.92666553) × R
    0.000230260000000038 × 6371000     		dr = 1466.98646000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05515076-2.05553426) × cos(0.92689579) × R
    0.00038349999999987 × 0.600319494529975 × 6371000     		do = 1466.74771411546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05515076-2.05553426) × cos(0.92666553) × R
    0.00038349999999987 × 0.60050363141591 × 6371000     		du = 1467.19761180992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92689579)-sin(0.92666553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600319494529975-0.60050363141591)×R²
    abs(2.05553426-2.05515076)×0.000184136885934771×R²
    0.00038349999999987×0.000184136885934771×6371000²
    0.00038349999999987×0.000184136885934771×40589641000000     		ar = 2152029.04326585m²