Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13551 / 5298
↖ ↑ ↗
← N 53.514185°
E117.751465°		 ← 1 452.83 m → N 53.514185°
E117.773438°		 →
↑
1 453.03 m
↓
↑
1 453.03 m
↓
N 53.501117°
E117.751465°		 ← 1 453.28 m →
2 111 339 m²		 N 53.501117°
E117.773438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827117919921875 y=0.323394775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827117919921875 × 214)
    floor (0.827117919921875 × 16384)
    floor (13551.5)     		tx = 13551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323394775390625 × 214)
    floor (0.323394775390625 × 16384)
    floor (5298.5)     		ty = 5298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13551 / 5298 ti = "14/13551/5298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13551/5298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13551 ÷ 214
    13551 ÷ 16384     		x = 0.82708740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5298 ÷ 214
    5298 ÷ 16384     		y = 0.3233642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82708740234375 × 2 - 1) × π
    0.6541748046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05515076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3233642578125 × 2 - 1) × π
    0.353271484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.10983510000354
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05515076} λ = 2.05515076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10983510000354))-π/2
    2×atan(3.03385807000006)-π/2
    2×1.25239752159164-π/2
    2.50479504318327-1.57079632675     		φ = 0.93399872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05515076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.751465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93399872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.514185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13551 KachelY 5298 2.05515076 0.93399872 117.751465 53.514185
    Oben rechts KachelX + 1 13552 KachelY 5298 2.05553426 0.93399872 117.773438 53.514185
    Unten links KachelX 13551 KachelY + 1 5299 2.05515076 0.93377065 117.751465 53.501117
    Unten rechts KachelX + 1 13552 KachelY + 1 5299 2.05553426 0.93377065 117.773438 53.501117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93399872-0.93377065) × R
    0.000228069999999914 × 6371000     		dl = 1453.03396999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93399872-0.93377065) × R
    0.000228069999999914 × 6371000     		dr = 1453.03396999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05515076-2.05553426) × cos(0.93399872) × R
    0.00038349999999987 × 0.594623757534618 × 6371000     		do = 1452.83144237305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05515076-2.05553426) × cos(0.93377065) × R
    0.00038349999999987 × 0.594807111282335 × 6371000     		du = 1453.27942664274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93399872)-sin(0.93377065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594623757534618-0.594807111282335)×R²
    abs(2.05553426-2.05515076)×0.000183353747716497×R²
    0.00038349999999987×0.000183353747716497×6371000²
    0.00038349999999987×0.000183353747716497×40589641000000     		ar = 2111338.91578545m²