Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13549 / 4636
↖ ↑ ↗
← N 77.998190°
W 31.146240°		 ← 254.03 m → N 77.998190°
W 31.135254°		 →
↑
254.08 m
↓
↑
254.08 m
↓
N 77.995905°
W 31.146240°		 ← 254.08 m →
64 549 m²		 N 77.995905°
W 31.135254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413497924804688 y=0.141494750976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413497924804688 × 215)
    floor (0.413497924804688 × 32768)
    floor (13549.5)     		tx = 13549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141494750976562 × 215)
    floor (0.141494750976562 × 32768)
    floor (4636.5)     		ty = 4636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13549 / 4636 ti = "15/13549/4636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13549/4636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13549 ÷ 215
    13549 ÷ 32768     		x = 0.413482666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4636 ÷ 215
    4636 ÷ 32768     		y = 0.1414794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413482666015625 × 2 - 1) × π
    -0.17303466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54360444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1414794921875 × 2 - 1) × π
    0.717041015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.25265078694568
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54360444} λ = -0.54360444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25265078694568))-π/2
    2×atan(9.51291916573172)-π/2
    2×1.46606077779169-π/2
    2.93212155558338-1.57079632675     		φ = 1.36132523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54360444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.146240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36132523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.998190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13549 KachelY 4636 -0.54360444 1.36132523 -31.146240 77.998190
    Oben rechts KachelX + 1 13550 KachelY 4636 -0.54341269 1.36132523 -31.135254 77.998190
    Unten links KachelX 13549 KachelY + 1 4637 -0.54360444 1.36128535 -31.146240 77.995905
    Unten rechts KachelX + 1 13550 KachelY + 1 4637 -0.54341269 1.36128535 -31.135254 77.995905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36132523-1.36128535) × R
    3.98800000001032e-05 × 6371000     		dl = 254.075480000657m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36132523-1.36128535) × R
    3.98800000001032e-05 × 6371000     		dr = 254.075480000657m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54360444--0.54341269) × cos(1.36132523) × R
    0.000191749999999935 × 0.207942587027589 × 6371000     		do = 254.030826059358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54360444--0.54341269) × cos(1.36128535) × R
    0.000191749999999935 × 0.207981595126619 × 6371000     		du = 254.078479884201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36132523)-sin(1.36128535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207942587027589-0.207981595126619)×R²
    abs(-0.54341269--0.54360444)×3.90080990296249e-05×R²
    0.000191749999999935×3.90080990296249e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.90080990296249e-05×40589641000000     		ar = 64549.057909067m²