Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13549 / 3724
↖ ↑ ↗
← N 79.912854°
W 31.146240°		 ← 213.97 m → N 79.912854°
W 31.135254°		 →
↑
213.94 m
↓
↑
213.94 m
↓
N 79.910930°
W 31.146240°		 ← 214.01 m →
45 780 m²		 N 79.910930°
W 31.135254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413497924804688 y=0.113662719726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413497924804688 × 215)
    floor (0.413497924804688 × 32768)
    floor (13549.5)     		tx = 13549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113662719726562 × 215)
    floor (0.113662719726562 × 32768)
    floor (3724.5)     		ty = 3724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13549 / 3724 ti = "15/13549/3724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13549/3724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13549 ÷ 215
    13549 ÷ 32768     		x = 0.413482666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3724 ÷ 215
    3724 ÷ 32768     		y = 0.1136474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413482666015625 × 2 - 1) × π
    -0.17303466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54360444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1136474609375 × 2 - 1) × π
    0.772705078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.42752459675964
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54360444} λ = -0.54360444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42752459675964))-π/2
    2×atan(11.330799039259)-π/2
    2×1.48276937068456-π/2
    2.96553874136912-1.57079632675     		φ = 1.39474241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54360444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.146240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39474241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.912854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13549 KachelY 3724 -0.54360444 1.39474241 -31.146240 79.912854
    Oben rechts KachelX + 1 13550 KachelY 3724 -0.54341269 1.39474241 -31.135254 79.912854
    Unten links KachelX 13549 KachelY + 1 3725 -0.54360444 1.39470883 -31.146240 79.910930
    Unten rechts KachelX + 1 13550 KachelY + 1 3725 -0.54341269 1.39470883 -31.135254 79.910930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39474241-1.39470883) × R
    3.35800000001996e-05 × 6371000     		dl = 213.938180001271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39474241-1.39470883) × R
    3.35800000001996e-05 × 6371000     		dr = 213.938180001271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54360444--0.54341269) × cos(1.39474241) × R
    0.000191749999999935 × 0.175145860544723 × 6371000     		do = 213.965057716387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54360444--0.54341269) × cos(1.39470883) × R
    0.000191749999999935 × 0.175178921383003 × 6371000     		du = 214.005446134068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39474241)-sin(1.39470883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175145860544723-0.175178921383003)×R²
    abs(-0.54341269--0.54360444)×3.30608382798359e-05×R²
    0.000191749999999935×3.30608382798359e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.30608382798359e-05×40589641000000     		ar = 45779.6153482545m²