Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13549 / 3386
↖ ↑ ↗
← N 80.542908°
W 31.146240°		 ← 200.73 m → N 80.542908°
W 31.135254°		 →
↑
200.75 m
↓
↑
200.75 m
↓
N 80.541103°
W 31.146240°		 ← 200.76 m →
40 300 m²		 N 80.541103°
W 31.135254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413497924804688 y=0.103347778320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413497924804688 × 215)
    floor (0.413497924804688 × 32768)
    floor (13549.5)     		tx = 13549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103347778320312 × 215)
    floor (0.103347778320312 × 32768)
    floor (3386.5)     		ty = 3386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13549 / 3386 ti = "15/13549/3386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13549/3386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13549 ÷ 215
    13549 ÷ 32768     		x = 0.413482666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3386 ÷ 215
    3386 ÷ 32768     		y = 0.10333251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413482666015625 × 2 - 1) × π
    -0.17303466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54360444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10333251953125 × 2 - 1) × π
    0.7933349609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.49233528504596
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54360444} λ = -0.54360444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49233528504596))-π/2
    2×atan(12.0894755522441)-π/2
    2×1.48826763184496-π/2
    2.97653526368992-1.57079632675     		φ = 1.40573894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54360444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.146240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40573894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.542908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13549 KachelY 3386 -0.54360444 1.40573894 -31.146240 80.542908
    Oben rechts KachelX + 1 13550 KachelY 3386 -0.54341269 1.40573894 -31.135254 80.542908
    Unten links KachelX 13549 KachelY + 1 3387 -0.54360444 1.40570743 -31.146240 80.541103
    Unten rechts KachelX + 1 13550 KachelY + 1 3387 -0.54341269 1.40570743 -31.135254 80.541103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40573894-1.40570743) × R
    3.15099999999013e-05 × 6371000     		dl = 200.750209999371m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40573894-1.40570743) × R
    3.15099999999013e-05 × 6371000     		dr = 200.750209999371m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54360444--0.54341269) × cos(1.40573894) × R
    0.000191749999999935 × 0.164308938107829 × 6371000     		do = 200.726247918276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54360444--0.54341269) × cos(1.40570743) × R
    0.000191749999999935 × 0.164340019771569 × 6371000     		du = 200.764218498657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40573894)-sin(1.40570743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164308938107829-0.164340019771569)×R²
    abs(-0.54341269--0.54360444)×3.10816637404399e-05×R²
    0.000191749999999935×3.10816637404399e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.10816637404399e-05×40589641000000     		ar = 40299.6477258247m²