Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13548 / 3384
↖ ↑ ↗
← N 80.546518°
W 31.157227°		 ← 200.65 m → N 80.546518°
W 31.146240°		 →
↑
200.69 m
↓
↑
200.69 m
↓
N 80.544713°
W 31.157227°		 ← 200.69 m →
40 272 m²		 N 80.544713°
W 31.146240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413467407226562 y=0.103286743164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413467407226562 × 215)
    floor (0.413467407226562 × 32768)
    floor (13548.5)     		tx = 13548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103286743164062 × 215)
    floor (0.103286743164062 × 32768)
    floor (3384.5)     		ty = 3384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13548 / 3384 ti = "15/13548/3384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13548/3384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13548 ÷ 215
    13548 ÷ 32768     		x = 0.4134521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3384 ÷ 215
    3384 ÷ 32768     		y = 0.103271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4134521484375 × 2 - 1) × π
    -0.173095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54379619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103271484375 × 2 - 1) × π
    0.79345703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.49271878024292
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54379619} λ = -0.54379619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49271878024292))-π/2
    2×atan(12.0941126971567)-π/2
    2×1.48829913173151-π/2
    2.97659826346301-1.57079632675     		φ = 1.40580194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54379619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.157227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40580194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.546518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13548 KachelY 3384 -0.54379619 1.40580194 -31.157227 80.546518
    Oben rechts KachelX + 1 13549 KachelY 3384 -0.54360444 1.40580194 -31.146240 80.546518
    Unten links KachelX 13548 KachelY + 1 3385 -0.54379619 1.40577044 -31.157227 80.544713
    Unten rechts KachelX + 1 13549 KachelY + 1 3385 -0.54360444 1.40577044 -31.146240 80.544713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40580194-1.40577044) × R
    3.14999999999621e-05 × 6371000     		dl = 200.686499999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40580194-1.40577044) × R
    3.14999999999621e-05 × 6371000     		dr = 200.686499999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54379619--0.54360444) × cos(1.40580194) × R
    0.000191750000000046 × 0.164246794019347 × 6371000     		do = 200.650330260748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54379619--0.54360444) × cos(1.40577044) × R
    0.000191750000000046 × 0.16427786614509 × 6371000     		du = 200.688289189137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40580194)-sin(1.40577044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164246794019347-0.16427786614509)×R²
    abs(-0.54360444--0.54379619)×3.10721257432423e-05×R²
    0.000191750000000046×3.10721257432423e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.10721257432423e-05×40589641000000     		ar = 40271.6214299121m²