Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 13548 / 15628
↖ ↑ ↗
← N 79.554573°
W142.789307°		 ← 55.37 m → N 79.554573°
W142.786560°		 →
↑
55.43 m
↓
↑
55.43 m
↓
N 79.554074°
W142.789307°		 ← 55.38 m →
3 069 m²		 N 79.554074°
W142.786560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.103366851806641 y=0.119235992431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.103366851806641 × 217)
    floor (0.103366851806641 × 131072)
    floor (13548.5)     		tx = 13548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119235992431641 × 217)
    floor (0.119235992431641 × 131072)
    floor (15628.5)     		ty = 15628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13548 / 15628 ti = "17/13548/15628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13548/15628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13548 ÷ 217
    13548 ÷ 131072     		x = 0.103363037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15628 ÷ 217
    15628 ÷ 131072     		y = 0.119232177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.103363037109375 × 2 - 1) × π
    -0.79327392578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.49214354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119232177734375 × 2 - 1) × π
    0.76153564453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.39243478623776
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.49214354} λ = -2.49214354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39243478623776))-π/2
    2×atan(10.9400983427706)-π/2
    2×1.4796427761828-π/2
    2.95928555236561-1.57079632675     		φ = 1.38848923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.49214354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.789307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38848923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.554573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13548 KachelY 15628 -2.49214354 1.38848923 -142.789307 79.554573
    Oben rechts KachelX + 1 13549 KachelY 15628 -2.49209560 1.38848923 -142.786560 79.554573
    Unten links KachelX 13548 KachelY + 1 15629 -2.49214354 1.38848053 -142.789307 79.554074
    Unten rechts KachelX + 1 13549 KachelY + 1 15629 -2.49209560 1.38848053 -142.786560 79.554074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38848923-1.38848053) × R
    8.69999999997262e-06 × 6371000     		dl = 55.4276999998255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38848923-1.38848053) × R
    8.69999999997262e-06 × 6371000     		dr = 55.4276999998255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.49214354--2.49209560) × cos(1.38848923) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.181298917582788 × 6371000     		do = 55.3733560638856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.49214354--2.49209560) × cos(1.38848053) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.181307473399842 × 6371000     		du = 55.3759692306406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38848923)-sin(1.38848053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181298917582788-0.181307473399842)×R²
    abs(-2.49209560--2.49214354)×8.55581705397346e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.55581705397346e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.55581705397346e-06×40589641000000     		ar = 3069.29018868186m²