Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13547 / 5339
↖ ↑ ↗
← N 52.975108°
E117.663574°		 ← 1 471.21 m → N 52.975108°
E117.685547°		 →
↑
1 471.45 m
↓
↑
1 471.45 m
↓
N 52.961875°
E117.663574°		 ← 1 471.66 m →
2 165 139 m²		 N 52.961875°
E117.685547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826873779296875 y=0.325897216796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826873779296875 × 214)
    floor (0.826873779296875 × 16384)
    floor (13547.5)     		tx = 13547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325897216796875 × 214)
    floor (0.325897216796875 × 16384)
    floor (5339.5)     		ty = 5339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13547 / 5339 ti = "14/13547/5339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13547/5339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13547 ÷ 214
    13547 ÷ 16384     		x = 0.82684326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5339 ÷ 214
    5339 ÷ 16384     		y = 0.32586669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82684326171875 × 2 - 1) × π
    0.6536865234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05361678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32586669921875 × 2 - 1) × π
    0.3482666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.09411179692816
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05361678} λ = 2.05361678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09411179692816))-π/2
    2×atan(2.9865288608928)-π/2
    2×1.24769319307377-π/2
    2.49538638614753-1.57079632675     		φ = 0.92459006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05361678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.663574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92459006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.975108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13547 KachelY 5339 2.05361678 0.92459006 117.663574 52.975108
    Oben rechts KachelX + 1 13548 KachelY 5339 2.05400027 0.92459006 117.685547 52.975108
    Unten links KachelX 13547 KachelY + 1 5340 2.05361678 0.92435910 117.663574 52.961875
    Unten rechts KachelX + 1 13548 KachelY + 1 5340 2.05400027 0.92435910 117.685547 52.961875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92459006-0.92435910) × R
    0.000230960000000002 × 6371000     		dl = 1471.44616000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92459006-0.92435910) × R
    0.000230960000000002 × 6371000     		dr = 1471.44616000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05361678-2.05400027) × cos(0.92459006) × R
    0.000383489999999931 × 0.602161928399216 × 6371000     		do = 1471.21092943962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05361678-2.05400027) × cos(0.92435910) × R
    0.000383489999999931 × 0.602346304791586 × 6371000     		du = 1471.66140056839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92459006)-sin(0.92435910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602161928399216-0.602346304791586)×R²
    abs(2.05400027-2.05361678)×0.000184376392370234×R²
    0.000383489999999931×0.000184376392370234×6371000²
    0.000383489999999931×0.000184376392370234×40589641000000     		ar = 2165139.1043036m²