Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13546 / 3706
↖ ↑ ↗
← N 79.947431°
W 31.179199°		 ← 213.23 m → N 79.947431°
W 31.168213°		 →
↑
213.30 m
↓
↑
213.30 m
↓
N 79.945513°
W 31.179199°		 ← 213.27 m →
45 486 m²		 N 79.945513°
W 31.168213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413406372070312 y=0.113113403320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413406372070312 × 215)
    floor (0.413406372070312 × 32768)
    floor (13546.5)     		tx = 13546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113113403320312 × 215)
    floor (0.113113403320312 × 32768)
    floor (3706.5)     		ty = 3706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13546 / 3706 ti = "15/13546/3706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13546/3706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13546 ÷ 215
    13546 ÷ 32768     		x = 0.41339111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3706 ÷ 215
    3706 ÷ 32768     		y = 0.11309814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41339111328125 × 2 - 1) × π
    -0.1732177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54417968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11309814453125 × 2 - 1) × π
    0.7738037109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.43097605353229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54417968} λ = -0.54417968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43097605353229))-π/2
    2×atan(11.369974369432)-π/2
    2×1.4830711118771-π/2
    2.9661422237542-1.57079632675     		φ = 1.39534590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54417968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.179199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39534590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.947431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13546 KachelY 3706 -0.54417968 1.39534590 -31.179199 79.947431
    Oben rechts KachelX + 1 13547 KachelY 3706 -0.54398794 1.39534590 -31.168213 79.947431
    Unten links KachelX 13546 KachelY + 1 3707 -0.54417968 1.39531242 -31.179199 79.945513
    Unten rechts KachelX + 1 13547 KachelY + 1 3707 -0.54398794 1.39531242 -31.168213 79.945513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39534590-1.39531242) × R
    3.34799999999191e-05 × 6371000     		dl = 213.301079999485m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39534590-1.39531242) × R
    3.34799999999191e-05 × 6371000     		dr = 213.301079999485m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54417968--0.54398794) × cos(1.39534590) × R
    0.000191740000000107 × 0.174551667135463 × 6371000     		do = 213.228047039022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54417968--0.54398794) × cos(1.39531242) × R
    0.000191740000000107 × 0.174584633053206 × 6371000     		du = 213.26831739779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39534590)-sin(1.39531242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174551667135463-0.174584633053206)×R²
    abs(-0.54398794--0.54417968)×3.29659177425445e-05×R²
    0.000191740000000107×3.29659177425445e-05×6371000²
    0.000191740000000107×3.29659177425445e-05×40589641000000     		ar = 45486.0675797879m²