Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13546 / 3178
↖ ↑ ↗
← N 80.911088°
W 31.179199°		 ← 192.97 m → N 80.911088°
W 31.168213°		 →
↑
193.04 m
↓
↑
193.04 m
↓
N 80.909352°
W 31.179199°		 ← 193.01 m →
37 254 m²		 N 80.909352°
W 31.168213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413406372070312 y=0.0970001220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413406372070312 × 215)
    floor (0.413406372070312 × 32768)
    floor (13546.5)     		tx = 13546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0970001220703125 × 215)
    floor (0.0970001220703125 × 32768)
    floor (3178.5)     		ty = 3178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13546 / 3178 ti = "15/13546/3178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13546/3178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13546 ÷ 215
    13546 ÷ 32768     		x = 0.41339111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3178 ÷ 215
    3178 ÷ 32768     		y = 0.09698486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41339111328125 × 2 - 1) × π
    -0.1732177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54417968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09698486328125 × 2 - 1) × π
    0.8060302734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.53221878552985
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54417968} λ = -0.54417968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53221878552985))-π/2
    2×atan(12.5813905978129)-π/2
    2×1.4914806011239-π/2
    2.98296120224781-1.57079632675     		φ = 1.41216488
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54417968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.179199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41216488 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.911088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13546 KachelY 3178 -0.54417968 1.41216488 -31.179199 80.911088
    Oben rechts KachelX + 1 13547 KachelY 3178 -0.54398794 1.41216488 -31.168213 80.911088
    Unten links KachelX 13546 KachelY + 1 3179 -0.54417968 1.41213458 -31.179199 80.909352
    Unten rechts KachelX + 1 13547 KachelY + 1 3179 -0.54398794 1.41213458 -31.168213 80.909352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41216488-1.41213458) × R
    3.02999999999276e-05 × 6371000     		dl = 193.041299999539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41216488-1.41213458) × R
    3.02999999999276e-05 × 6371000     		dr = 193.041299999539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54417968--0.54398794) × cos(1.41216488) × R
    0.000191740000000107 × 0.157966984776634 × 6371000     		do = 192.968604730796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54417968--0.54398794) × cos(1.41213458) × R
    0.000191740000000107 × 0.157996904269261 × 6371000     		du = 193.005153651159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41216488)-sin(1.41213458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157966984776634-0.157996904269261)×R²
    abs(-0.54398794--0.54417968)×2.99194926269286e-05×R²
    0.000191740000000107×2.99194926269286e-05×6371000²
    0.000191740000000107×2.99194926269286e-05×40589641000000     		ar = 37254.4380445789m²