Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13545 / 3126
↖ ↑ ↗
← N 81.000890°
W 31.190185°		 ← 191.09 m → N 81.000890°
W 31.179199°		 →
↑
191.13 m
↓
↑
191.13 m
↓
N 80.999171°
W 31.190185°		 ← 191.12 m →
36 526 m²		 N 80.999171°
W 31.179199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413375854492188 y=0.0954132080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413375854492188 × 215)
    floor (0.413375854492188 × 32768)
    floor (13545.5)     		tx = 13545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0954132080078125 × 215)
    floor (0.0954132080078125 × 32768)
    floor (3126.5)     		ty = 3126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13545 / 3126 ti = "15/13545/3126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13545/3126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13545 ÷ 215
    13545 ÷ 32768     		x = 0.413360595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3126 ÷ 215
    3126 ÷ 32768     		y = 0.09539794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413360595703125 × 2 - 1) × π
    -0.17327880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54437143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09539794921875 × 2 - 1) × π
    0.8092041015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.54218966065082
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54437143} λ = -0.54437143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54218966065082))-π/2
    2×atan(12.7074655666851)-π/2
    2×1.49226427114771-π/2
    2.98452854229542-1.57079632675     		φ = 1.41373222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54437143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.190185°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41373222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.000890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13545 KachelY 3126 -0.54437143 1.41373222 -31.190185 81.000890
    Oben rechts KachelX + 1 13546 KachelY 3126 -0.54417968 1.41373222 -31.179199 81.000890
    Unten links KachelX 13545 KachelY + 1 3127 -0.54437143 1.41370222 -31.190185 80.999171
    Unten rechts KachelX + 1 13546 KachelY + 1 3127 -0.54417968 1.41370222 -31.179199 80.999171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41373222-1.41370222) × R
    2.99999999999745e-05 × 6371000     		dl = 191.129999999837m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41373222-1.41370222) × R
    2.99999999999745e-05 × 6371000     		dr = 191.129999999837m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54437143--0.54417968) × cos(1.41373222) × R
    0.000191749999999935 × 0.156419130286187 × 6371000     		do = 191.087749008405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54437143--0.54417968) × cos(1.41370222) × R
    0.000191749999999935 × 0.156448760938872 × 6371000     		du = 191.123946976728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41373222)-sin(1.41370222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156419130286187-0.156448760938872)×R²
    abs(-0.54417968--0.54437143)×2.96306526847145e-05×R²
    0.000191749999999935×2.96306526847145e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.96306526847145e-05×40589641000000     		ar = 36526.0607293069m²