Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13545 / 12710
↖ ↑ ↗
← S 69.945375°
E117.619629°		 ← 837.82 m → S 69.945375°
E117.641601°		 →
↑
837.72 m
↓
↑
837.72 m
↓
S 69.952909°
E117.619629°		 ← 837.52 m →
701 732 m²		 S 69.952909°
E117.641601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826751708984375 y=0.775787353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826751708984375 × 214)
    floor (0.826751708984375 × 16384)
    floor (13545.5)     		tx = 13545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775787353515625 × 214)
    floor (0.775787353515625 × 16384)
    floor (12710.5)     		ty = 12710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13545 / 12710 ti = "14/13545/12710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13545/12710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13545 ÷ 214
    13545 ÷ 16384     		x = 0.82672119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12710 ÷ 214
    12710 ÷ 16384     		y = 0.7757568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82672119140625 × 2 - 1) × π
    0.6534423828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05284979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7757568359375 × 2 - 1) × π
    -0.551513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.73263129986731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05284979} λ = 2.05284979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73263129986731))-π/2
    2×atan(0.176818534722986)-π/2
    2×0.175009616939629-π/2
    0.350019233879258-1.57079632675     		φ = -1.22077709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05284979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.619629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22077709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.945375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13545 KachelY 12710 2.05284979 -1.22077709 117.619629 -69.945375
    Oben rechts KachelX + 1 13546 KachelY 12710 2.05323328 -1.22077709 117.641601 -69.945375
    Unten links KachelX 13545 KachelY + 1 12711 2.05284979 -1.22090858 117.619629 -69.952909
    Unten rechts KachelX + 1 13546 KachelY + 1 12711 2.05323328 -1.22090858 117.641601 -69.952909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22077709--1.22090858) × R
    0.000131490000000012 × 6371000     		dl = 837.722790000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22077709--1.22090858) × R
    0.000131490000000012 × 6371000     		dr = 837.722790000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05284979-2.05323328) × cos(-1.22077709) × R
    0.000383490000000375 × 0.342915877912213 × 6371000     		do = 837.817144641773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05284979-2.05323328) × cos(-1.22090858) × R
    0.000383490000000375 × 0.342792357697479 × 6371000     		du = 837.51535822627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22077709)-sin(-1.22090858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342915877912213-0.342792357697479)×R²
    abs(2.05323328-2.05284979)×0.000123520214734607×R²
    0.000383490000000375×0.000123520214734607×6371000²
    0.000383490000000375×0.000123520214734607×40589641000000     		ar = 701732.110251129m²