Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 13543 / 12485
↖ ↑ ↗
← S 68.179724°
E117.575684°		 ← 908.13 m → S 68.179724°
E117.597656°		 →
↑
907.99 m
↓
↑
907.99 m
↓
S 68.187889°
E117.575684°		 ← 907.81 m →
824 434 m²		 S 68.187889°
E117.597656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826629638671875 y=0.762054443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826629638671875 × 214)
    floor (0.826629638671875 × 16384)
    floor (13543.5)     		tx = 13543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762054443359375 × 214)
    floor (0.762054443359375 × 16384)
    floor (12485.5)     		ty = 12485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13543 / 12485 ti = "14/13543/12485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13543/12485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13543 ÷ 214
    13543 ÷ 16384     		x = 0.82659912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12485 ÷ 214
    12485 ÷ 16384     		y = 0.76202392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82659912109375 × 2 - 1) × π
    0.6531982421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05208280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76202392578125 × 2 - 1) × π
    -0.5240478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.64634488055121
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05208280} λ = 2.05208280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64634488055121))-π/2
    2×atan(0.192753158424966)-π/2
    2×0.190417831715605-π/2
    0.380835663431209-1.57079632675     		φ = -1.18996066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05208280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.575684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18996066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.179724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13543 KachelY 12485 2.05208280 -1.18996066 117.575684 -68.179724
    Oben rechts KachelX + 1 13544 KachelY 12485 2.05246629 -1.18996066 117.597656 -68.179724
    Unten links KachelX 13543 KachelY + 1 12486 2.05208280 -1.19010318 117.575684 -68.187889
    Unten rechts KachelX + 1 13544 KachelY + 1 12486 2.05246629 -1.19010318 117.597656 -68.187889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18996066--1.19010318) × R
    0.000142520000000035 × 6371000     		dl = 907.994920000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18996066--1.19010318) × R
    0.000142520000000035 × 6371000     		dr = 907.994920000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05208280-2.05246629) × cos(-1.18996066) × R
    0.000383489999999931 × 0.371696394008098 × 6371000     		do = 908.134127230089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05208280-2.05246629) × cos(-1.19010318) × R
    0.000383489999999931 × 0.371564081172296 × 6371000     		du = 907.81085855275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18996066)-sin(-1.19010318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371696394008098-0.371564081172296)×R²
    abs(2.05246629-2.05208280)×0.00013231283580234×R²
    0.000383489999999931×0.00013231283580234×6371000²
    0.000383489999999931×0.00013231283580234×40589641000000     		ar = 824434.412441026m²