Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13542 / 3686
↖ ↑ ↗
← N 79.985712°
W 31.223144°		 ← 212.42 m → N 79.985712°
W 31.212158°		 →
↑
212.41 m
↓
↑
212.41 m
↓
N 79.983802°
W 31.223144°		 ← 212.46 m →
45 125 m²		 N 79.983802°
W 31.212158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413284301757812 y=0.112503051757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413284301757812 × 215)
    floor (0.413284301757812 × 32768)
    floor (13542.5)     		tx = 13542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112503051757812 × 215)
    floor (0.112503051757812 × 32768)
    floor (3686.5)     		ty = 3686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13542 / 3686 ti = "15/13542/3686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13542/3686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13542 ÷ 215
    13542 ÷ 32768     		x = 0.41326904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3686 ÷ 215
    3686 ÷ 32768     		y = 0.11248779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41326904296875 × 2 - 1) × π
    -0.1734619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54494667
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11248779296875 × 2 - 1) × π
    0.7750244140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.43481100550189
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54494667} λ = -0.54494667}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43481100550189))-π/2
    2×atan(11.4136613903062)-π/2
    2×1.4834051793584-π/2
    2.9668103587168-1.57079632675     		φ = 1.39601403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54494667} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.223144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39601403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.985712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13542 KachelY 3686 -0.54494667 1.39601403 -31.223144 79.985712
    Oben rechts KachelX + 1 13543 KachelY 3686 -0.54475493 1.39601403 -31.212158 79.985712
    Unten links KachelX 13542 KachelY + 1 3687 -0.54494667 1.39598069 -31.223144 79.983802
    Unten rechts KachelX + 1 13543 KachelY + 1 3687 -0.54475493 1.39598069 -31.212158 79.983802
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39601403-1.39598069) × R
    3.33399999998818e-05 × 6371000     		dl = 212.409139999247m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39601403-1.39598069) × R
    3.33399999998818e-05 × 6371000     		dr = 212.409139999247m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54494667--0.54475493) × cos(1.39601403) × R
    0.000191739999999996 × 0.173893755345719 × 6371000     		do = 212.42435808907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54494667--0.54475493) × cos(1.39598069) × R
    0.000191739999999996 × 0.173926587294812 × 6371000     		du = 212.464464795012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39601403)-sin(1.39598069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173893755345719-0.173926587294812)×R²
    abs(-0.54475493--0.54494667)×3.2831949092621e-05×R²
    0.000191739999999996×3.2831949092621e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.2831949092621e-05×40589641000000     		ar = 45125.1347365052m²