Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13542 / 3670
↖ ↑ ↗
← N 80.016234°
W 31.223144°		 ← 211.78 m → N 80.016234°
W 31.212158°		 →
↑
211.84 m
↓
↑
211.84 m
↓
N 80.014328°
W 31.223144°		 ← 211.82 m →
44 868 m²		 N 80.014328°
W 31.212158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413284301757812 y=0.112014770507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413284301757812 × 215)
    floor (0.413284301757812 × 32768)
    floor (13542.5)     		tx = 13542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112014770507812 × 215)
    floor (0.112014770507812 × 32768)
    floor (3670.5)     		ty = 3670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13542 / 3670 ti = "15/13542/3670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13542/3670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13542 ÷ 215
    13542 ÷ 32768     		x = 0.41326904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3670 ÷ 215
    3670 ÷ 32768     		y = 0.11199951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41326904296875 × 2 - 1) × π
    -0.1734619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54494667
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11199951171875 × 2 - 1) × π
    0.7760009765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.43787896707758
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54494667} λ = -0.54494667}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43787896707758))-π/2
    2×atan(11.4487318347695)-π/2
    2×1.48367152647357-π/2
    2.96734305294713-1.57079632675     		φ = 1.39654673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54494667} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.223144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39654673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.016234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13542 KachelY 3670 -0.54494667 1.39654673 -31.223144 80.016234
    Oben rechts KachelX + 1 13543 KachelY 3670 -0.54475493 1.39654673 -31.212158 80.016234
    Unten links KachelX 13542 KachelY + 1 3671 -0.54494667 1.39651348 -31.223144 80.014328
    Unten rechts KachelX + 1 13543 KachelY + 1 3671 -0.54475493 1.39651348 -31.212158 80.014328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39654673-1.39651348) × R
    3.32499999999847e-05 × 6371000     		dl = 211.835749999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39654673-1.39651348) × R
    3.32499999999847e-05 × 6371000     		dr = 211.835749999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54494667--0.54475493) × cos(1.39654673) × R
    0.000191739999999996 × 0.173369146691425 × 6371000     		do = 211.783508988912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54494667--0.54475493) × cos(1.39651348) × R
    0.000191739999999996 × 0.173401893087939 × 6371000     		du = 211.823511185917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39654673)-sin(1.39651348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173369146691425-0.173401893087939)×R²
    abs(-0.54475493--0.54494667)×3.2746396514155e-05×R²
    0.000191739999999996×3.2746396514155e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.2746396514155e-05×40589641000000     		ar = 44867.5554154738m²