Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13542 / 12690
↖ ↑ ↗
← S 69.794136°
E117.553711°		 ← 843.89 m → S 69.794136°
E117.575684°		 →
↑
843.71 m
↓
↑
843.71 m
↓
S 69.801724°
E117.553711°		 ← 843.59 m →
711 875 m²		 S 69.801724°
E117.575684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826568603515625 y=0.774566650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826568603515625 × 214)
    floor (0.826568603515625 × 16384)
    floor (13542.5)     		tx = 13542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774566650390625 × 214)
    floor (0.774566650390625 × 16384)
    floor (12690.5)     		ty = 12690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13542 / 12690 ti = "14/13542/12690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13542/12690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13542 ÷ 214
    13542 ÷ 16384     		x = 0.8265380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12690 ÷ 214
    12690 ÷ 16384     		y = 0.7745361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8265380859375 × 2 - 1) × π
    0.653076171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05169930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7745361328125 × 2 - 1) × π
    -0.549072265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7249613959281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05169930} λ = 2.05169930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7249613959281))-π/2
    2×atan(0.178179930110965)-π/2
    2×0.17632943014355-π/2
    0.3526588602871-1.57079632675     		φ = -1.21813747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05169930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.553711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21813747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.794136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13542 KachelY 12690 2.05169930 -1.21813747 117.553711 -69.794136
    Oben rechts KachelX + 1 13543 KachelY 12690 2.05208280 -1.21813747 117.575684 -69.794136
    Unten links KachelX 13542 KachelY + 1 12691 2.05169930 -1.21826990 117.553711 -69.801724
    Unten rechts KachelX + 1 13543 KachelY + 1 12691 2.05208280 -1.21826990 117.575684 -69.801724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21813747--1.21826990) × R
    0.00013242999999985 × 6371000     		dl = 843.711529999045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21813747--1.21826990) × R
    0.00013242999999985 × 6371000     		dr = 843.711529999045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05169930-2.05208280) × cos(-1.21813747) × R
    0.00038349999999987 × 0.345394249972427 × 6371000     		do = 843.894344980972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05169930-2.05208280) × cos(-1.21826990) × R
    0.00038349999999987 × 0.345269966993875 × 6371000     		du = 843.590687051558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21813747)-sin(-1.21826990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345394249972427-0.345269966993875)×R²
    abs(2.05208280-2.05169930)×0.000124282978552825×R²
    0.00038349999999987×0.000124282978552825×6371000²
    0.00038349999999987×0.000124282978552825×40589641000000     		ar = 711875.290153651m²