Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13541 / 3684
↖ ↑ ↗
← N 79.989533°
W 31.234131°		 ← 212.36 m → N 79.989533°
W 31.223144°		 →
↑
212.41 m
↓
↑
212.41 m
↓
N 79.987622°
W 31.234131°		 ← 212.40 m →
45 110 m²		 N 79.987622°
W 31.223144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413253784179688 y=0.112442016601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413253784179688 × 215)
    floor (0.413253784179688 × 32768)
    floor (13541.5)     		tx = 13541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112442016601562 × 215)
    floor (0.112442016601562 × 32768)
    floor (3684.5)     		ty = 3684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13541 / 3684 ti = "15/13541/3684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13541/3684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13541 ÷ 215
    13541 ÷ 32768     		x = 0.413238525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3684 ÷ 215
    3684 ÷ 32768     		y = 0.1124267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413238525390625 × 2 - 1) × π
    -0.17352294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54513842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1124267578125 × 2 - 1) × π
    0.775146484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.43519450069885
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54513842} λ = -0.54513842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43519450069885))-π/2
    2×atan(11.4180393140319)-π/2
    2×1.48343851677262-π/2
    2.96687703354524-1.57079632675     		φ = 1.39608071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54513842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.234131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39608071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.989533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13541 KachelY 3684 -0.54513842 1.39608071 -31.234131 79.989533
    Oben rechts KachelX + 1 13542 KachelY 3684 -0.54494667 1.39608071 -31.223144 79.989533
    Unten links KachelX 13541 KachelY + 1 3685 -0.54513842 1.39604737 -31.234131 79.987622
    Unten rechts KachelX + 1 13542 KachelY + 1 3685 -0.54494667 1.39604737 -31.223144 79.987622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39608071-1.39604737) × R
    3.33399999998818e-05 × 6371000     		dl = 212.409139999247m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39608071-1.39604737) × R
    3.33399999998818e-05 × 6371000     		dr = 212.409139999247m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54513842--0.54494667) × cos(1.39608071) × R
    0.000191750000000046 × 0.173828090867693 × 6371000     		do = 212.355218556591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54513842--0.54494667) × cos(1.39604737) × R
    0.000191750000000046 × 0.173860923203334 × 6371000     		du = 212.395327826479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39608071)-sin(1.39604737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173828090867693-0.173860923203334)×R²
    abs(-0.54494667--0.54513842)×3.28323356412474e-05×R²
    0.000191750000000046×3.28323356412474e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.28323356412474e-05×40589641000000     		ar = 45110.4491395102m²