Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13541 / 3497
↖ ↑ ↗
← N 80.340419°
W 31.234131°		 ← 204.98 m → N 80.340419°
W 31.223144°		 →
↑
205.02 m
↓
↑
205.02 m
↓
N 80.338575°
W 31.234131°		 ← 205.02 m →
42 029 m²		 N 80.338575°
W 31.223144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413253784179688 y=0.106735229492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413253784179688 × 215)
    floor (0.413253784179688 × 32768)
    floor (13541.5)     		tx = 13541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106735229492188 × 215)
    floor (0.106735229492188 × 32768)
    floor (3497.5)     		ty = 3497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13541 / 3497 ti = "15/13541/3497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13541/3497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13541 ÷ 215
    13541 ÷ 32768     		x = 0.413238525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3497 ÷ 215
    3497 ÷ 32768     		y = 0.106719970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413238525390625 × 2 - 1) × π
    -0.17352294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54513842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106719970703125 × 2 - 1) × π
    0.78656005859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.47105130161465
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54513842} λ = -0.54513842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47105130161465))-π/2
    2×atan(11.8348823446923)-π/2
    2×1.48650057657358-π/2
    2.97300115314716-1.57079632675     		φ = 1.40220483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54513842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.234131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40220483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.340419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13541 KachelY 3497 -0.54513842 1.40220483 -31.234131 80.340419
    Oben rechts KachelX + 1 13542 KachelY 3497 -0.54494667 1.40220483 -31.223144 80.340419
    Unten links KachelX 13541 KachelY + 1 3498 -0.54513842 1.40217265 -31.234131 80.338575
    Unten rechts KachelX + 1 13542 KachelY + 1 3498 -0.54494667 1.40217265 -31.223144 80.338575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40220483-1.40217265) × R
    3.21800000000483e-05 × 6371000     		dl = 205.018780000308m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40220483-1.40217265) × R
    3.21800000000483e-05 × 6371000     		dr = 205.018780000308m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54513842--0.54494667) × cos(1.40220483) × R
    0.000191750000000046 × 0.167793982404087 × 6371000     		do = 204.983714818691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54513842--0.54494667) × cos(1.40217265) × R
    0.000191750000000046 × 0.167825706071835 × 6371000     		du = 205.022469696366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40220483)-sin(1.40217265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167793982404087-0.167825706071835)×R²
    abs(-0.54494667--0.54513842)×3.17236677480348e-05×R²
    0.000191750000000046×3.17236677480348e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.17236677480348e-05×40589641000000     		ar = 42029.4838739939m²