Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13541 / 12512
↖ ↑ ↗
← S 68.399180°
E117.531738°		 ← 899.44 m → S 68.399180°
E117.553711°		 →
↑
899.27 m
↓
↑
899.27 m
↓
S 68.407267°
E117.531738°		 ← 899.12 m →
808 692 m²		 S 68.407267°
E117.553711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826507568359375 y=0.763702392578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826507568359375 × 214)
    floor (0.826507568359375 × 16384)
    floor (13541.5)     		tx = 13541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763702392578125 × 214)
    floor (0.763702392578125 × 16384)
    floor (12512.5)     		ty = 12512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13541 / 12512 ti = "14/13541/12512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13541/12512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13541 ÷ 214
    13541 ÷ 16384     		x = 0.82647705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12512 ÷ 214
    12512 ÷ 16384     		y = 0.763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82647705078125 × 2 - 1) × π
    0.6529541015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05131581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763671875 × 2 - 1) × π
    -0.52734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65669925086914
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05131581} λ = 2.05131581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65669925086914))-π/2
    2×atan(0.190767618092236)-π/2
    2×0.188502714694935-π/2
    0.37700542938987-1.57079632675     		φ = -1.19379090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05131581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.531738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19379090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.399180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13541 KachelY 12512 2.05131581 -1.19379090 117.531738 -68.399180
    Oben rechts KachelX + 1 13542 KachelY 12512 2.05169930 -1.19379090 117.553711 -68.399180
    Unten links KachelX 13541 KachelY + 1 12513 2.05131581 -1.19393205 117.531738 -68.407267
    Unten rechts KachelX + 1 13542 KachelY + 1 12513 2.05169930 -1.19393205 117.553711 -68.407267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19379090--1.19393205) × R
    0.000141149999999923 × 6371000     		dl = 899.266649999511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19379090--1.19393205) × R
    0.000141149999999923 × 6371000     		dr = 899.266649999511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05131581-2.05169930) × cos(-1.19379090) × R
    0.000383489999999931 × 0.368137856227506 × 6371000     		do = 899.439855093775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05131581-2.05169930) × cos(-1.19393205) × R
    0.000383489999999931 × 0.368006615353182 × 6371000     		du = 899.119205448572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19379090)-sin(-1.19393205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368137856227506-0.368006615353182)×R²
    abs(2.05169930-2.05131581)×0.000131240874324701×R²
    0.000383489999999931×0.000131240874324701×6371000²
    0.000383489999999931×0.000131240874324701×40589641000000     		ar = 808692.091942752m²