Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13540 / 3491
↖ ↑ ↗
← N 80.351473°
W 31.245117°		 ← 204.75 m → N 80.351473°
W 31.234131°		 →
↑
204.76 m
↓
↑
204.76 m
↓
N 80.349631°
W 31.245117°		 ← 204.79 m →
41 930 m²		 N 80.349631°
W 31.234131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413223266601562 y=0.106552124023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413223266601562 × 215)
    floor (0.413223266601562 × 32768)
    floor (13540.5)     		tx = 13540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106552124023438 × 215)
    floor (0.106552124023438 × 32768)
    floor (3491.5)     		ty = 3491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13540 / 3491 ti = "15/13540/3491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13540/3491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13540 ÷ 215
    13540 ÷ 32768     		x = 0.4132080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3491 ÷ 215
    3491 ÷ 32768     		y = 0.106536865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4132080078125 × 2 - 1) × π
    -0.173583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54533017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106536865234375 × 2 - 1) × π
    0.78692626953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.47220178720554
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54533017} λ = -0.54533017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47220178720554))-π/2
    2×atan(11.8485060417305)-π/2
    2×1.4865970441387-π/2
    2.9731940882774-1.57079632675     		φ = 1.40239776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54533017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.245117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40239776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.351473°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13540 KachelY 3491 -0.54533017 1.40239776 -31.245117 80.351473
    Oben rechts KachelX + 1 13541 KachelY 3491 -0.54513842 1.40239776 -31.234131 80.351473
    Unten links KachelX 13540 KachelY + 1 3492 -0.54533017 1.40236562 -31.245117 80.349631
    Unten rechts KachelX + 1 13541 KachelY + 1 3492 -0.54513842 1.40236562 -31.234131 80.349631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40239776-1.40236562) × R
    3.21399999998473e-05 × 6371000     		dl = 204.763939999027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40239776-1.40236562) × R
    3.21399999998473e-05 × 6371000     		dr = 204.763939999027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54533017--0.54513842) × cos(1.40239776) × R
    0.000191749999999935 × 0.167603784627967 × 6371000     		do = 204.751361750002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54533017--0.54513842) × cos(1.40236562) × R
    0.000191749999999935 × 0.167635469903008 × 6371000     		du = 204.790069725639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40239776)-sin(1.40236562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167603784627967-0.167635469903008)×R²
    abs(-0.54513842--0.54533017)×3.16852750408547e-05×R²
    0.000191749999999935×3.16852750408547e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.16852750408547e-05×40589641000000     		ar = 41929.6585549057m²