Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1354 / 780
↖ ↑ ↗
← N 81.011194°
W120.498047°		 ← 763.47 m → N 81.011194°
W120.454102°		 →
↑
763.76 m
↓
↑
763.76 m
↓
N 81.004326°
W120.498047°		 ← 764.05 m →
583 328 m²		 N 81.004326°
W120.454102°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.16534423828125 y=0.09527587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.16534423828125 × 213)
    floor (0.16534423828125 × 8192)
    floor (1354.5)     		tx = 1354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09527587890625 × 213)
    floor (0.09527587890625 × 8192)
    floor (780.5)     		ty = 780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1354 / 780 ti = "13/1354/780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1354/780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1354 ÷ 213
    1354 ÷ 8192     		x = 0.165283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 780 ÷ 213
    780 ÷ 8192     		y = 0.09521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.165283203125 × 2 - 1) × π
    -0.66943359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.10308766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09521484375 × 2 - 1) × π
    0.8095703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.5433401462417
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10308766} λ = -2.10308766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5433401462417))-π/2
    2×atan(12.7220937358516)-π/2
    2×1.49235419902427-π/2
    2.98470839804853-1.57079632675     		φ = 1.41391207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10308766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.498047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41391207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.011194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1354 KachelY 780 -2.10308766 1.41391207 -120.498047 81.011194
    Oben rechts KachelX + 1 1355 KachelY 780 -2.10232067 1.41391207 -120.454102 81.011194
    Unten links KachelX 1354 KachelY + 1 781 -2.10308766 1.41379219 -120.498047 81.004326
    Unten rechts KachelX + 1 1355 KachelY + 1 781 -2.10232067 1.41379219 -120.454102 81.004326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41391207-1.41379219) × R
    0.000119880000000183 × 6371000     		dl = 763.755480001167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41391207-1.41379219) × R
    0.000119880000000183 × 6371000     		dr = 763.755480001167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10308766--2.10232067) × cos(1.41391207) × R
    0.000766989999999801 × 0.156241491572525 × 6371000     		do = 763.473000188536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10308766--2.10232067) × cos(1.41379219) × R
    0.000766989999999801 × 0.156359898189517 × 6371000     		du = 764.05159332796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41391207)-sin(1.41379219))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156241491572525-0.156359898189517)×R²
    abs(-2.10232067--2.10308766)×0.000118406616992278×R²
    0.000766989999999801×0.000118406616992278×6371000²
    0.000766989999999801×0.000118406616992278×40589641000000     		ar = 583327.640266591m²