Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13539 / 12517
↖ ↑ ↗
← S 68.439589°
E117.487793°		 ← 897.84 m → S 68.439589°
E117.509765°		 →
↑
897.74 m
↓
↑
897.74 m
↓
S 68.447662°
E117.487793°		 ← 897.52 m →
805 879 m²		 S 68.447662°
E117.509765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826385498046875 y=0.764007568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826385498046875 × 214)
    floor (0.826385498046875 × 16384)
    floor (13539.5)     		tx = 13539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764007568359375 × 214)
    floor (0.764007568359375 × 16384)
    floor (12517.5)     		ty = 12517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13539 / 12517 ti = "14/13539/12517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13539/12517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13539 ÷ 214
    13539 ÷ 16384     		x = 0.82635498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12517 ÷ 214
    12517 ÷ 16384     		y = 0.76397705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82635498046875 × 2 - 1) × π
    0.6527099609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05054882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76397705078125 × 2 - 1) × π
    -0.5279541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65861672685394
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05054882} λ = 2.05054882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65861672685394))-π/2
    2×atan(0.190402176240822)-π/2
    2×0.188150081405868-π/2
    0.376300162811737-1.57079632675     		φ = -1.19449616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05054882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.487793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19449616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.439589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13539 KachelY 12517 2.05054882 -1.19449616 117.487793 -68.439589
    Oben rechts KachelX + 1 13540 KachelY 12517 2.05093231 -1.19449616 117.509765 -68.439589
    Unten links KachelX 13539 KachelY + 1 12518 2.05054882 -1.19463707 117.487793 -68.447662
    Unten rechts KachelX + 1 13540 KachelY + 1 12518 2.05093231 -1.19463707 117.509765 -68.447662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19449616--1.19463707) × R
    0.00014091000000005 × 6371000     		dl = 897.737610000316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19449616--1.19463707) × R
    0.00014091000000005 × 6371000     		dr = 897.737610000316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05054882-2.05093231) × cos(-1.19449616) × R
    0.000383489999999931 × 0.367482034277936 × 6371000     		do = 897.837541206977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05054882-2.05093231) × cos(-1.19463707) × R
    0.000383489999999931 × 0.367350980015386 × 6371000     		du = 897.517347494422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19449616)-sin(-1.19463707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367482034277936-0.367350980015386)×R²
    abs(2.05093231-2.05054882)×0.000131054262550057×R²
    0.000383489999999931×0.000131054262550057×6371000²
    0.000383489999999931×0.000131054262550057×40589641000000     		ar = 805878.804775669m²