Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13538 / 5994
↖ ↑ ↗
← N 43.421009°
E117.465820°		 ← 1 774.61 m → N 43.421009°
E117.487793°		 →
↑
1 774.83 m
↓
↑
1 774.83 m
↓
N 43.405047°
E117.465820°		 ← 1 775.08 m →
3 150 049 m²		 N 43.405047°
E117.487793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826324462890625 y=0.365875244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826324462890625 × 214)
    floor (0.826324462890625 × 16384)
    floor (13538.5)     		tx = 13538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365875244140625 × 214)
    floor (0.365875244140625 × 16384)
    floor (5994.5)     		ty = 5994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13538 / 5994 ti = "14/13538/5994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13538/5994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13538 ÷ 214
    13538 ÷ 16384     		x = 0.8262939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5994 ÷ 214
    5994 ÷ 16384     		y = 0.3658447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8262939453125 × 2 - 1) × π
    0.652587890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05016532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3658447265625 × 2 - 1) × π
    0.268310546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.842922442919067
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05016532} λ = 2.05016532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.842922442919067))-π/2
    2×atan(2.32314632835934)-π/2
    2×1.16431794769875-π/2
    2.32863589539751-1.57079632675     		φ = 0.75783957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05016532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.465820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75783957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.421009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13538 KachelY 5994 2.05016532 0.75783957 117.465820 43.421009
    Oben rechts KachelX + 1 13539 KachelY 5994 2.05054882 0.75783957 117.487793 43.421009
    Unten links KachelX 13538 KachelY + 1 5995 2.05016532 0.75756099 117.465820 43.405047
    Unten rechts KachelX + 1 13539 KachelY + 1 5995 2.05054882 0.75756099 117.487793 43.405047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75783957-0.75756099) × R
    0.000278580000000028 × 6371000     		dl = 1774.83318000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75783957-0.75756099) × R
    0.000278580000000028 × 6371000     		dr = 1774.83318000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05016532-2.05054882) × cos(0.75783957) × R
    0.00038349999999987 × 0.726322684570668 × 6371000     		do = 1774.60859927319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05016532-2.05054882) × cos(0.75756099) × R
    0.00038349999999987 × 0.726514139428596 × 6371000     		du = 1775.07637681129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75783957)-sin(0.75756099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726322684570668-0.726514139428596)×R²
    abs(2.05054882-2.05016532)×0.000191454857927709×R²
    0.00038349999999987×0.000191454857927709×6371000²
    0.00038349999999987×0.000191454857927709×40589641000000     		ar = 3150049.3574236m²