Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13537 / 3371
↖ ↑ ↗
← N 80.569947°
W 31.278076°		 ← 200.15 m → N 80.569947°
W 31.267090°		 →
↑
200.11 m
↓
↑
200.11 m
↓
N 80.568147°
W 31.278076°		 ← 200.18 m →
40 056 m²		 N 80.568147°
W 31.267090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413131713867188 y=0.102890014648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413131713867188 × 215)
    floor (0.413131713867188 × 32768)
    floor (13537.5)     		tx = 13537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102890014648438 × 215)
    floor (0.102890014648438 × 32768)
    floor (3371.5)     		ty = 3371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13537 / 3371 ti = "15/13537/3371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13537/3371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13537 ÷ 215
    13537 ÷ 32768     		x = 0.413116455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3371 ÷ 215
    3371 ÷ 32768     		y = 0.102874755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413116455078125 × 2 - 1) × π
    -0.17376708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54590541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102874755859375 × 2 - 1) × π
    0.79425048828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.49521149902316
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54590541} λ = -0.54590541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49521149902316))-π/2
    2×atan(12.1242975245205)-π/2
    2×1.4885035907922-π/2
    2.97700718158441-1.57079632675     		φ = 1.40621085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54590541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.278076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40621085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.569947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13537 KachelY 3371 -0.54590541 1.40621085 -31.278076 80.569947
    Oben rechts KachelX + 1 13538 KachelY 3371 -0.54571367 1.40621085 -31.267090 80.569947
    Unten links KachelX 13537 KachelY + 1 3372 -0.54590541 1.40617944 -31.278076 80.568147
    Unten rechts KachelX + 1 13538 KachelY + 1 3372 -0.54571367 1.40617944 -31.267090 80.568147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40621085-1.40617944) × R
    3.1409999999843e-05 × 6371000     		dl = 200.113109998999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40621085-1.40617944) × R
    3.1409999999843e-05 × 6371000     		dr = 200.113109998999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54590541--0.54571367) × cos(1.40621085) × R
    0.000191739999999996 × 0.163843423592263 × 6371000     		do = 200.147118650163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54590541--0.54571367) × cos(1.40617944) × R
    0.000191739999999996 × 0.163874409047908 × 6371000     		du = 200.184969724875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40621085)-sin(1.40617944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163843423592263-0.163874409047908)×R²
    abs(-0.54571367--0.54590541)×3.09854556451161e-05×R²
    0.000191739999999996×3.09854556451161e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.09854556451161e-05×40589641000000     		ar = 40055.8496218178m²